Equazione differenziale. Risposte a quitz
Ciao a tutti, questo fa parte di una classe di problemi che non mi sono molto chiari. Ho un esame fra qualche giorno, qualcuno puo aiutarmi?
Ho la seguente: $y''' - y'' +y' -y = e^(-t) + 7$
risolvendola trovo: $ y = c1*e^7 + c2*cos t +c3*sen t -1/4*e^(-t) + 7$ Fino a qui nessun problema, ma poi mi si chiede di "indovinare" una delle seguenti risposte:
L'equazione precedente ammette:
a) soluzioni periodiche b) soluzioni divergenti a +inf per t->-inf c) soluzioni divergenti a -inf per t->-inf d)soluzioni infinitesime per t->+inf.
La presenza di $c2*cos t +c3*sen t$ mi porta a dire che vi sono soluzioni periodiche e quindi a rispondere a)
Ma è anche vero che per t->-inf, il termine $ -1/4*e^(-t)$ tende a -inf. e quindi
Se t-> +inf, il termine $ -1/4*e^(-t)$ tende a 0 e dovrei rispondere d)
Ma una sola risposta è quella giusta.....Anche variando le costanti C1,c2,c3 non ne esco.. C'è qualcosa che non considero...
Ho la seguente: $y''' - y'' +y' -y = e^(-t) + 7$
risolvendola trovo: $ y = c1*e^7 + c2*cos t +c3*sen t -1/4*e^(-t) + 7$ Fino a qui nessun problema, ma poi mi si chiede di "indovinare" una delle seguenti risposte:
L'equazione precedente ammette:
a) soluzioni periodiche b) soluzioni divergenti a +inf per t->-inf c) soluzioni divergenti a -inf per t->-inf d)soluzioni infinitesime per t->+inf.
La presenza di $c2*cos t +c3*sen t$ mi porta a dire che vi sono soluzioni periodiche e quindi a rispondere a)
Ma è anche vero che per t->-inf, il termine $ -1/4*e^(-t)$ tende a -inf. e quindi
Se t-> +inf, il termine $ -1/4*e^(-t)$ tende a 0 e dovrei rispondere d)
Ma una sola risposta è quella giusta.....Anche variando le costanti C1,c2,c3 non ne esco.. C'è qualcosa che non considero...
Risposte
Guarda...io non saprei nemmeno risolverla, quell'equazione. Ma una volta risolta le conclusioni non sono mica così difficili! Come fanno a essere periodiche le soluzioni se c'è quell'$e^(-t)$ sommato a una funzione periodica? E come fanno a essere infinitesime se i seni e coseni continuano a oscillare tranquillamente (e anche se i loro coefficienti sono nulli c'è quel $+7$!)? Non puoi trarre conclusioni guardando solo un pezzo alla volta. 
Fidandomi della soluzione da te trovata, non puoi dire che l'equazione differenziale ammette soluzioni periodiche, il termine esponenziale non è periodico: infatti affinchè sia periodica di periodo [tex]$T$[/tex] devi avere [tex]$y(t) = y(t+ T)$[/tex] questo [tex]$\forall t \in \mathbb{R}$[/tex].
Non è vero che [tex]$y$[/tex] è infinitesima per [tex]$t\rightarrow +\infty$[/tex], infatti hai un termine costante che sicuramente non è infinitesimo. Quindi l'unica cosa certa è che diverge a [tex]$-\infty$[/tex], se a [tex]$+\infty$[/tex] o a [tex]$-\infty$[/tex] dipende dal coefficiente del termine esponenziale.
P.S. Vedo ora che era già stata data la risposta
Non è vero che [tex]$y$[/tex] è infinitesima per [tex]$t\rightarrow +\infty$[/tex], infatti hai un termine costante che sicuramente non è infinitesimo. Quindi l'unica cosa certa è che diverge a [tex]$-\infty$[/tex], se a [tex]$+\infty$[/tex] o a [tex]$-\infty$[/tex] dipende dal coefficiente del termine esponenziale.
P.S. Vedo ora che era già stata data la risposta
In effetti hai ragione, ci avevo anche pensato (giuro non mi sta crescendo il naso..). Il problema è che devo dare l'ultima parte di analisi 2 (analisi c) e non ho mai frequentato ne lezioni ne esercitazioni. Quindi quello che mi serviva era soprattutto una conferma di un tipo di ragionamento piuttosto che un altro.
Per esempio, in questi casi posso, arbitrariamente porre $c1=0 $? o addirittura $c2=c3=0$ ? In questo caso si avrebbero altre possibilita di soluzione. Ma evidentemente non è possibile... D' altro canto le costanti c1,c2,c3 possono assumere valori infiniti e quindi perchè non zero?
Per esempio, in questi casi posso, arbitrariamente porre $c1=0 $? o addirittura $c2=c3=0$ ? In questo caso si avrebbero altre possibilita di soluzione. Ma evidentemente non è possibile... D' altro canto le costanti c1,c2,c3 possono assumere valori infiniti e quindi perchè non zero?
Ok, mi è chiaro, l' unica risposta possibile è la c), senza ombra di dubbio.
Grazie a tutti
Grazie a tutti
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo