Equazione differenziale "trascendente"

[gygabyte017]

Ciao a tutti, devo risolvere questa equazione differenziale: $y=xy'+cosy'$
Fino ad ora ho risolto solo equazioni in cui le varie $y^(k)$ avevano come coefficiente al più un polinomio... Invece in questa la derivata prima è argomento del coseno e non ho idea di che tipo di equazione sia, nè tanto meno come si può procedere per risolverla...
Ho provato a fare qualche sostituzione, a tentare qualche soluzione a caso, ma non ne vengo a capo...

Un aiutino please??

Thanks!!

[ciampax]

Ok, io ti scrivo una cosa... per cui probabilmente interverrà Fioravante a dire che quello che è stato scritto è una s.....a megagalattica e mi bannerà dal forum!
Comunque, io farei così: se derivi l'equazione precedente trovi

$y'=y'+x y''-y''\sin\ y'$

da cui

$y''(x-\sin\ y')=0$

e quindi le due equazioni differenziali

$y''=0$, $x-\sin\ y'=0$.

A questo punto puoi risolvere la prima come $y(x)=c_1 x+c_2$ e la seconda come

$y'=\arcsin\ x$ (e qui dovremmo fare una disquisizione di due giorni su quanto sia lecito questo passaggio, sulla soluzione in grande o in piccolo, dove sia definita la soluzione, se sia possibile definirla... e un'altra marea di cose per cui Fioravante, come sostenevo precedentemente, mi bannerà dal Forum!) che risolta conduce a

$y(x)=x\arcsin\ x+\sqrt{1-x^2}+c$.

Ma la cosa mi puzza!

Edit: e c'è anche un'altra cosa. La prima soluzione (la retta) per essere tale deve avere le costanti che soddisfano la condizione

$c_2=\cos\ c_1$

Edit 2: sto metodo mi sa tanto di Orangu-tang 2: il ritorno!

[gygabyte017]

Ti ringrazio, la soluzione è corretta
Ora aspettiamo Fioravante per le critiche eheh...

Ah hanno un nome questo tipo di equazioni? così cerco esercizi e mi ci esercito...

[ciampax]

Mmmmmmmmmm..... sinceramente non ho idea se abbiano un nome specifico.

[Lord K]

Dovete fare una verifica per vedere se la soluzione è proprio quella. Il metodo mi pare corretto (quello di derivare)

[ciampax]

Sì, sostituendo a ritroso le soluzioni sono corrette (la prima con quella condizione per le costanti!). L'unica cosa che mi preoccupa è il fatto che pare tanto un metodo alla orangu-tang (diciamo molto ma molto di calcoli formali e poco di ragionamento matematico serio) e che richiederebbe, sicuramente, una parentesi su quanto sia legittimo passare alla funzione inversa del seno e quindi al fatto che la soluzione possa essere in grande, in piccolo ecc.

Fioravante aiutaci tu!

[Thomas16]

peraltro mi viene in mente anche questa questione:

- una volta ottenuto quel sistema hai che in ogni punto si deve annullare la derivata seconda oppure si deve avere che $sen(y')=x$ ( condizione necessaria affinchè sia soluzione, anche se non so se sufficiente i passaggi saranno invertibili?)... e ci si potrebbe magari aspettare delle soluzioni ottenute "incollando" in qualche modo quelle "separate"... e questi ragionamenti mi fanno pensare che l'equazione differenziale, vista come problema di cauchy con qualche condizione iniziale potrebbe anche non possedere soluzione unica....

quante domande....

[gygabyte017]

In realtà nel testo c'era la condizione iniziale $y(1)=pi/2$, e mi sa che restringendo la soluzione in un certo intorno del dato iniziale, non ci sono problemi di unicità e invertibilità delle funzioni... almeno credo...