Equazione differenziale, quale tipologia è?

[jarrod]

Ciao, stavo risolvendo questa equazione differenziale $xy' + (y - 1)/x = 0$. Ho subito notato che ha la soluzione costante $y = 1$, ma non capisco che tipo di equazione differenziale è. Io ho pensato che non può essere ne un equazione a variabili separabili perchè presenta un $f(x)$ che moltiplica la derivata di y, e nè un equazione differenziale lineare di primo ordine perchè è omogenea e anche perchè presenta lo stesso problema detto precedentemente con l'equazione a variabili separabili. Qualcuno sa darmi un input iniziale?

[Mathita]

L'equazione differenziale perde di senso se $x=0$. Per $x\ne 0$ sei autorizzato a dividere i due membri dell'equazione per $x$ stesso, ricavando:

$y'+\frac{y-1}{x^2}=0$

Con qualche passaggio algebrico puoi ricondurla sia a un'equazione differenziale lineare del primo ordine non omogenea, sia a un'equazione differenziale a variabili separabili. Le possibili soluzioni saranno comunque definite o sull'intervallo $(-\infty, 0)$ oppure sull'intervallo $(0,+\infty)$, proprio perché $x$ non può essere zero.

[mobley]

"jarrod":Ciao, stavo risolvendo questa equazione differenziale $xy' + (y - 1)/x = 0$. Ho subito notato che ha la soluzione costante $y = 1$, ma non capisco che tipo di equazione differenziale è. Io ho pensato che non può essere ne un equazione a variabili separabili perchè presenta un $f(x)$ che moltiplica la derivata di y, e nè un equazione differenziale lineare di primo ordine perchè è omogenea e anche perchè presenta lo stesso problema detto precedentemente con l'equazione a variabili separabili. Qualcuno sa darmi un input iniziale?

Ciao jarrod,

applicando il metodo urang-utang l'equazione $ y'=-y/(x^2)+1/(x^2) $ ha:
- $ y_0(x)=Ce^(A(x)) $ con $ A(x)=int-1/(x^2)dx=-intx^(-2)=1/x $
- $y_p(x)=e^(A(x))B(x)$ con $B(x)= int1/(x^2)\cdote^(-(1/x))dx $.
Sostituendo $1/x=t$ avrai $y_p(x)=1$ e quindi la soluzione generale $y(x)=Croot(x)(e)+1$.

[Mathita]

@Mobley, un piccolo appunto: formalmente $root(x)(e)$ è ben definita se e solo se $x\in\mathbb{N}\wedge x\ge 2$, perché l'uguaglianza $root(n)(a)=a^{\frac{1}{n}}$ è vera se $n$ è un numero naturale maggiore o uguale a 2.

In termini più terra terra, sto tentando di dire che ogni radice può essere espressa come una potenza con esponente fratto, mentre una potenza a esponente reale non può "diventare" una radice.

[mobley]

"Mathita":@Mobley, un piccolo appunto: formalmente $root(x)(e)$ è ben definita se e solo se $x\in\mathbb{N}\wedge x\ge 2$, perché l'uguaglianza $root(n)(a)=a^{\frac{1}{n}}$ è vera se $n$ è un numero naturale maggiore o uguale a 2.

In termini più terra terra, sto tentando di dire che ogni radice può essere sì espressa come una potenza con esponente fratto, mentre una potenza a esponente reale non può "diventare" una radice.

Appunto più che giusto, ovviamente.

[jarrod]

Grazie ad entrambi. Un' ultima osservazione/dubbio: io ho trovato la soluzione costante $y = 1$ e risolvendo l'equazione differenziale ho trovato la soluzione: $c * e^(1/x)$. Quindi la soluzione generale è $y(x) = 1 + c * e^(1/x)$. Cioè ho supposto che la soluzione generale è data dalla somma di quella costante e l'altra soluzione, confermate?

[Mathita]

@Jarrod: ho capito cosa hai fatto, però hai giustificato in maniera poco chiara la strategia che hai seguito.

...e risolvendo l'equazione differenziale ho trovato la soluzione: $c e^{-\frac{1}{x}}$.

In questa frase in particolare, non è chiaro a quale equazione tu ti riferisca. Se intendi l'equazione iniziale, siamo fuori strada. Se invece ti riferisci all'equazione omogenea associata, il ragionamento è corretto (perché?).

Per favore, lo dico per te, cura maggiormente il linguaggio matematico. Lo so, è difficile, ma necessario se si vuole comunicare correttamente le proprie idee agli altri.