Equazione differenziale (Problema di cauchy)
Ciao ragazzi,
ho una domanda da fare:
dato il problema di cauchy:
${(y'=(x\sqrt(x^2+1))/y),(y(1)=2):}$
trovarne le soluzioni.
Come prima cosa separo le variabili:
$y'=(x\sqrt(x^2+1))/y$
$(dy)/(dx)=(x\sqrt(x^2+1))/y$
$y*(dy)=(x\sqrt(x^2+1))dx$ ora integro entrambi i membri:
$inty*(dy)=int(x\sqrt(x^2+1))dx$
Devo mettere gli estremi? sarebbero questi: $int_0^y y*(dy)=int_0^x(x\sqrt(x^2+1))dx$ ??
Grazie mille
ho una domanda da fare:
dato il problema di cauchy:
${(y'=(x\sqrt(x^2+1))/y),(y(1)=2):}$
trovarne le soluzioni.
Come prima cosa separo le variabili:
$y'=(x\sqrt(x^2+1))/y$
$(dy)/(dx)=(x\sqrt(x^2+1))/y$
$y*(dy)=(x\sqrt(x^2+1))dx$ ora integro entrambi i membri:
$inty*(dy)=int(x\sqrt(x^2+1))dx$
Devo mettere gli estremi? sarebbero questi: $int_0^y y*(dy)=int_0^x(x\sqrt(x^2+1))dx$ ??
Grazie mille
Risposte
Non devi mettere estremi in quanto quella è proprio una integrazione indefinita. Infatti le soluzioni saranno definite a meno di una costante (infatti sono una famiglia).
Dopodichè devi trovare il valore della costante tale per cui viene soddisfatta $y(1)=2$
Dopodichè devi trovare il valore della costante tale per cui viene soddisfatta $y(1)=2$
Ciao, grazie della rispsota.
Sinceramente sono un po 'confuso perchè vedo che c'è chi lo mette, e chi no. non vorrei farmi bocciare per un errore così banale
Vorrei cogliere l'occasione per fare altre 2-3 domande:
Prendiamo: ${(y'=(y(cosx))/(1+y^2)),(y(0)=1):}$, separo le variabili ed ottengo:
$(1+y^2)/y dy= cosx dx$, integro: $int(1+y^2)/y dy= intcosx dx$ ed ottengo: $ln|y|+1/2y^2 = sinx +c$.
Ora ho il dubbio:
1. che osservazioni devo fare per togliere il valore assoluto dal $ln|y|$?
2.che io scriva $+c$, $-c$, $26/7c$ non fa differenza, tanto e' una costante arbitraria che scelgo o calcolo a posteriori. giusto? se si, allora potrei anche voler scrivere $ln|y|+1/2y^2 = sinx +c$ come $2ln|y|+y^2 = 2sinx +c$ che sarebbe giusto!?!? no?
3. Ora come ce l'applico la condizione iniziale alla $ln|y|+1/2y^2 = sinx +c$?
Dato che $y(0)=1$ e siccome la mie $y(x)!=sinx+c$ non posso scrivere $1=sin(0)+c$
Forse devo prima calcolare: $ln|y(0)|+1/2(y(0))^2=sinx +c$ ? dove $y(0)= sinx+c =1 => c=1$
poi farei: $ln|y(0)|+1/2(y(0))^2=sinx +c = ln|sin(0)+c|+1/2(sin(0)+c)^2=sin(0) +c$ da cui poi:
$ ln|c|+1/2(c)^2=c$ da cui $ ln|1|+1/2(1)^2=c$ da cui $0+1/2=c$ che è il risultato corretto.
Ma ho dei dubbi sul mio ragionamento... è un intuizione ma io non sono conosciuto per le mie intuizioni brillanti
Aiutatemiiii, per favore
Sinceramente sono un po 'confuso perchè vedo che c'è chi lo mette, e chi no. non vorrei farmi bocciare per un errore così banale
Vorrei cogliere l'occasione per fare altre 2-3 domande:
Prendiamo: ${(y'=(y(cosx))/(1+y^2)),(y(0)=1):}$, separo le variabili ed ottengo:
$(1+y^2)/y dy= cosx dx$, integro: $int(1+y^2)/y dy= intcosx dx$ ed ottengo: $ln|y|+1/2y^2 = sinx +c$.
Ora ho il dubbio:
1. che osservazioni devo fare per togliere il valore assoluto dal $ln|y|$?
2.che io scriva $+c$, $-c$, $26/7c$ non fa differenza, tanto e' una costante arbitraria che scelgo o calcolo a posteriori. giusto? se si, allora potrei anche voler scrivere $ln|y|+1/2y^2 = sinx +c$ come $2ln|y|+y^2 = 2sinx +c$ che sarebbe giusto!?!? no?
3. Ora come ce l'applico la condizione iniziale alla $ln|y|+1/2y^2 = sinx +c$?
Dato che $y(0)=1$ e siccome la mie $y(x)!=sinx+c$ non posso scrivere $1=sin(0)+c$
Forse devo prima calcolare: $ln|y(0)|+1/2(y(0))^2=sinx +c$ ? dove $y(0)= sinx+c =1 => c=1$
poi farei: $ln|y(0)|+1/2(y(0))^2=sinx +c = ln|sin(0)+c|+1/2(sin(0)+c)^2=sin(0) +c$ da cui poi:
$ ln|c|+1/2(c)^2=c$ da cui $ ln|1|+1/2(1)^2=c$ da cui $0+1/2=c$ che è il risultato corretto.
Ma ho dei dubbi sul mio ragionamento... è un intuizione ma io non sono conosciuto per le mie intuizioni brillanti
Aiutatemiiii, per favore
Gli estremi di integrazione non vanno messi, per trovare la soluzione a variabili separate l'integrazione è indefinita.
Per quanto riguarda la seconda domanda, il valore della costante \(\displaystyle c \) da determinare dipende solamente dai dati iniziali del problema di Cauchy, ovvero il dato \(\displaystyle y(0)=1 \).
Una volta determinata la famiglia di soluzioni \(\displaystyle \ln|y| + \frac{1}{2}y^2 = \sin x + c \), quella che soddisfa i dati iniziali è per \(\displaystyle c=\frac{1}{2} \). (semplicemente sostituendo i valori nella famiglia di soluzioni)
Per quanto riguarda la seconda domanda, il valore della costante \(\displaystyle c \) da determinare dipende solamente dai dati iniziali del problema di Cauchy, ovvero il dato \(\displaystyle y(0)=1 \).
Una volta determinata la famiglia di soluzioni \(\displaystyle \ln|y| + \frac{1}{2}y^2 = \sin x + c \), quella che soddisfa i dati iniziali è per \(\displaystyle c=\frac{1}{2} \). (semplicemente sostituendo i valori nella famiglia di soluzioni)
GRazie della risposta
quindi $ln|y(0)|+1/2 (y(0))^2 = sin (0) +c$ !?
invece per quello che riguarda su come trattare il valore assoluto della $y$ ?
"MartZeta":
Una volta determinata la famiglia di soluzioni \(\displaystyle \ln|y| + \frac{1}{2}y^2 = \sin x + c \), quella che soddisfa i dati iniziali è per \(\displaystyle c=\frac{1}{2} \). (semplicemente sostituendo i valori nella famiglia di soluzioni)
quindi $ln|y(0)|+1/2 (y(0))^2 = sin (0) +c$ !?
invece per quello che riguarda su come trattare il valore assoluto della $y$ ?
Il problema di Cauchy assegnato è relativo ad una equazione differenziale del primo ordine, non lineare omognena a variabili separabili, la quale è già in forma normale, cioè nella forma $y'(x)=f(x,y(x)),$ con secondo membro definito da:
\begin{align*}
f(x,y):=\frac{y(x) \cos x }{1+y^2(x) }
\end{align*}
per $(x;y)\in\Omega =\RR^2 .$ Dato che $f$ è di classe $C^{\infty} (\Omega ),$ essa sarà localmente lipshitziana rispetto alla seconda variabile in $ \RR^2,$ pertanto il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'esistenza e l'unicità della soluzione $y(x)$ del probblema di Cauchy in un intorno del punto iniziale. Separando le variabili si ottiene:
Consideriamo
\begin{align}
y'= \frac{y \cos x }{1+y^2 }\quad&\Leftrightarrow\quad \int_{x_0}^{x}\frac{y'(x) (1+y^2(x) )}{y(x)}\,\,dx= \int_{x_0}^{x}\cos t \,\,dt \\
y(x)=y ,y'(x)\,\,dx=dy\quad& \Leftrightarrow\quad \int_{1}^{y(x)}\frac{ 1+y^2 }{y}\,\,dy= \int_{0}^{x}\cos t \,\,dt\\
&\Leftrightarrow\quad \int_{1}^{y(x)}\frac{ 1+y^2 }{y}\,\,dy= \sin x \\
&\Leftrightarrow\quad \left[\ln|y|+\frac{ y^2 }{2}\right]_{1}^{y(x)} = \sin x \\
&\Leftrightarrow\quad \ln|y(x)|+\frac{ y^2(x) }{2}= \sin x+\frac{1}{2} ;
\end{align}
in questo caso non si può esplicitare la soluzione $y(x)$ in modo elementare; tuttavia utilizzando il teorema del Dini qualcosa si potrebbe dire....
\begin{align*}
f(x,y):=\frac{y(x) \cos x }{1+y^2(x) }
\end{align*}
per $(x;y)\in\Omega =\RR^2 .$ Dato che $f$ è di classe $C^{\infty} (\Omega ),$ essa sarà localmente lipshitziana rispetto alla seconda variabile in $ \RR^2,$ pertanto il teorema di esistenza ed unicità locale si applica e garantisce l'esistenza e l'unicità della soluzione $y(x)$ del probblema di Cauchy in un intorno del punto iniziale. Separando le variabili si ottiene:
Consideriamo
\begin{align}
y'= \frac{y \cos x }{1+y^2 }\quad&\Leftrightarrow\quad \int_{x_0}^{x}\frac{y'(x) (1+y^2(x) )}{y(x)}\,\,dx= \int_{x_0}^{x}\cos t \,\,dt \\
y(x)=y ,y'(x)\,\,dx=dy\quad& \Leftrightarrow\quad \int_{1}^{y(x)}\frac{ 1+y^2 }{y}\,\,dy= \int_{0}^{x}\cos t \,\,dt\\
&\Leftrightarrow\quad \int_{1}^{y(x)}\frac{ 1+y^2 }{y}\,\,dy= \sin x \\
&\Leftrightarrow\quad \left[\ln|y|+\frac{ y^2 }{2}\right]_{1}^{y(x)} = \sin x \\
&\Leftrightarrow\quad \ln|y(x)|+\frac{ y^2(x) }{2}= \sin x+\frac{1}{2} ;
\end{align}
in questo caso non si può esplicitare la soluzione $y(x)$ in modo elementare; tuttavia utilizzando il teorema del Dini qualcosa si potrebbe dire....
Ciao, purtroppo non ho idea di cosa sia il teorema di dini ne la lipschitzianita', quindi me le sono andate a vedere ora su wikipedia. Ora al meno so che cosa siano! (vagamente).
Perdona la superficialita' con la quale aggiro i dettagli del discorso ma non capisco: perchè tu gli estremi dell'intetgrale li hai messi? Gli utenti che hanno risposto prima di te mi hanno detto che posso tranquillamente non metterli.
Poi vorrei chiederti, nell'ultimo passaggio tu hai scritto:
$ln|y(x)|+1/2y^2(x)=sinx +c$ ed hai inserito la condizione di cauchy: $y(0)=1$ da cui mi calcolo facilmente $c=1/2$, no?
Perdona la superficialita' con la quale aggiro i dettagli del discorso ma non capisco: perchè tu gli estremi dell'intetgrale li hai messi? Gli utenti che hanno risposto prima di te mi hanno detto che posso tranquillamente non metterli.
Poi vorrei chiederti, nell'ultimo passaggio tu hai scritto:
$ln|y(x)|+1/2y^2(x)=sinx +c$ ed hai inserito la condizione di cauchy: $y(0)=1$ da cui mi calcolo facilmente $c=1/2$, no?
no, ho semplicemente calcolato gli integrali definiti.
Quindi hai fatto: $[ln|y|+1/2y^2]_1^(y(x)) = ln|y(x)|+1/2y^2(x)-(ln(1)+1/2 *1^2) = ln|y(x)|+1/2y^2(x)-1/2$ poi lo hai messo $= sinx +c$ ottenendo $ ln|y(x)|+1/2y^2(x)-1/2 = sinx +c$ giusto? poi hai usato la condizione di partenza!?
a primo membro ho fatto come hai scritto, ma ti sei diimenticato di integrare il secondo membro, cioè
\[ \int_{0}^{x}\cos t \,\,dt\]
\[ \int_{0}^{x}\cos t \,\,dt\]
si, si, scusa, ho saltato un po' di passaggi..
ma il mio dubbio permane: che differenza c'è nel fare i calcoli usando gli integrali definiti o quelli indefiniti (in questo esercizio) ? ho visto che in entrambi i modi il risultato è uguale tr l'altro ho visto sulle schede della mia prof che lei fa come fai tu: usa sempre gli integrali definiti mentre l'esercitatrice non lo fa mai, usa sempre gli indefiniti..
ma il mio dubbio permane: che differenza c'è nel fare i calcoli usando gli integrali definiti o quelli indefiniti (in questo esercizio) ? ho visto che in entrambi i modi il risultato è uguale tr l'altro ho visto sulle schede della mia prof che lei fa come fai tu: usa sempre gli integrali definiti mentre l'esercitatrice non lo fa mai, usa sempre gli indefiniti..
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