Equazione differenziale: problema $c_1$?
Risolviamo la seguente equazione differenziale:
$y'=y^2$
$y^(-2)y'=1$
$\int y^(-2)dy=\int dx$
$-1/y=x+c_1$
$-y=1/(x+c_1)$
$y=1/(-x-c_1)$
Eppure, la soluzione corretta è: $y=1/(c_1-x)$!
Ovvero, il segno è stato cambiato solo alla $x$, e non alla costante!
Mi spiegate perché?
$y'=y^2$
$y^(-2)y'=1$
$\int y^(-2)dy=\int dx$
$-1/y=x+c_1$
$-y=1/(x+c_1)$
$y=1/(-x-c_1)$
Eppure, la soluzione corretta è: $y=1/(c_1-x)$!
Ovvero, il segno è stato cambiato solo alla $x$, e non alla costante!
Mi spiegate perché?
Risposte
$c$ è una costante e se utilizzi le condizioni iniziali vedrai che il risultato sarà sempre lo stesso, sia che tu scriva $+c$ o $-c$...dato che devi fare una "doppia sostituzione"...prova per credere 
.
ps: dunque la tua soluzione equivale a quella del libro.
.ps: dunque la tua soluzione equivale a quella del libro.
"asker993":
$c$ è una costante e se utilizzi le condizioni iniziali vedrai che il risultato sarà sempre lo stesso, sia che tu scriva $+c$ o $-c$...dato che devi fare una "doppia sostituzione"...prova per credere
ps: dunque la tua soluzione equivale a quella del libro.
Ah ti ringrazio
Avrei un altro problema ora
Purtroppo il mondo delle equazioni differenziali è ancora nuovo per me, ed ogni tanto mi perdo:Abbiamo la seguente equazione differenziale:
$y''+2y'-8y=2e^(-4x)$
La soluzione generale è:
$y_o(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-4x)$
Cerchiamo ora la soluzione particolare $y_p(x):$
$\{(c_1'(x)e^(2x)+c_2'(x)e^(-4x)=0),(2c_1'(x)e^(2x)-4c_2'(x)e^(-4x)=2e^(-4x)):}$
$\{(c_1'(x)=-c_2'(x)e^(-6x)),(-2c_2'(x)-4c_2'(x)=2):}$
$\{(c_1'(x)=1/3e^(-6x)),(c_2'(x)=-1/3):}$
$c_1(x)=-1/18e^(-6x)$
$c_2(x)=-1/3x$
Quindi la soluzione particolare $y_p(x)$ è:
$y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)= -1/18e^(-4x)-1/3xe^(-4x)$
L'equazione che stiamo cercando sarà allora:
$y(x)= c_1e^(2x)+c_2e^(-4x)-1/18e^(-4x)-1/3xe^(-4x)$
Solo che il termine $-1/18e^(-4x)$ nella soluzione che mi danno è sparito!
Mi è successa la stessa identica cosa anche ad un'altra equazione, l'ho anche rifatta, ma niente: perché quel termine scompare?
Semplicemente, il termine \(1/18 e^{-4x}\) viene inglobato nel termine \(c_2 e^{-4x}\), rinominando la costante arbitraria.
Ciò non è un caso: infatti, il metodo di somiglianza ti dice che la soluzione particolare che cerchi è del tipo \(\bar{y}(x) =Ax\ e^{-4x}\), con \(A\) costante da determinare, poiché il numero complesso individuato dal termine noto, cioé \(-4\), è una radice del polinomio caratteristico associato alla EDO di molteplicità \(\mu=1\).
Facendo i conti trovi:
\[
\bar{y}^{\prime} (x) = A (1-4x)\ e^{-4x},\ \bar{y}^{\prime \prime} (x) = A(-8+16x)\ e^{-4x}
\]
sicché sostituendo nella EDO ottieni:
\[
(16Ax-8A)\ e^{-4x} + 2 (-4Ax + A)\ e^{-4x} - 8 Ax e^{-4x} = 2 e^{-4x} \quad \Rightarrow \quad -6A=2 \quad \Rightarrow \quad A= -\frac{1}{3}
\]
cioé:
\[
\bar{y}(x) = -\frac{1}{3} xe^{-4x} \; ,
\]
come già trovato per altra via.
In generale, se il termine noto della EDO è una funzione del tipo \(f(x):=e^{ax}(p_n(x) \cos bx + q_m(x) \sin bx)\), con \(a,b\in \mathbb{R}\) e \(p_n(x), q_m(x)\) polinomi di grado \(n\) ed \(m\), allora la soluzione particolare è del tipo:
\[
\bar{y}(x) := e^{ax}\ x^\mu\ \left( P_\nu (x)\ \cos b x + Q_\nu(x)\ \sin bx\right)
\]
in cui:
Ciò non è un caso: infatti, il metodo di somiglianza ti dice che la soluzione particolare che cerchi è del tipo \(\bar{y}(x) =Ax\ e^{-4x}\), con \(A\) costante da determinare, poiché il numero complesso individuato dal termine noto, cioé \(-4\), è una radice del polinomio caratteristico associato alla EDO di molteplicità \(\mu=1\).
Facendo i conti trovi:
\[
\bar{y}^{\prime} (x) = A (1-4x)\ e^{-4x},\ \bar{y}^{\prime \prime} (x) = A(-8+16x)\ e^{-4x}
\]
sicché sostituendo nella EDO ottieni:
\[
(16Ax-8A)\ e^{-4x} + 2 (-4Ax + A)\ e^{-4x} - 8 Ax e^{-4x} = 2 e^{-4x} \quad \Rightarrow \quad -6A=2 \quad \Rightarrow \quad A= -\frac{1}{3}
\]
cioé:
\[
\bar{y}(x) = -\frac{1}{3} xe^{-4x} \; ,
\]
come già trovato per altra via.
In generale, se il termine noto della EDO è una funzione del tipo \(f(x):=e^{ax}(p_n(x) \cos bx + q_m(x) \sin bx)\), con \(a,b\in \mathbb{R}\) e \(p_n(x), q_m(x)\) polinomi di grado \(n\) ed \(m\), allora la soluzione particolare è del tipo:
\[
\bar{y}(x) := e^{ax}\ x^\mu\ \left( P_\nu (x)\ \cos b x + Q_\nu(x)\ \sin bx\right)
\]
in cui:
- [*:36edy209] \(\mu\) è la molteplicità del numero complesso \(a+\imath b\) (individuato dal termine noto) come radice del polinomio caratteristico associato alla EDO (in particolare, \(\mu =0\) se \(a+\imath b\) non è radice del polinomio);
[/*:m:36edy209]
[*:36edy209] \(\nu = \max \{ n,m\}\);
[/*:m:36edy209]
[*:36edy209] \(P_\nu (x)\) e \(Q_\nu (x)\) sono polinomi di grado \(\nu\) a coefficienti incogniti (da deterimnare sostituendo \(\bar{y}(x)\) e le sue derivate nella EDO).[/*:m:36edy209][/list:u:36edy209]
"gugo82":
Semplicemente, il termine \(1/18 e^{-4x}\) viene inglobato nel termine \(c_2 e^{-4x}\), rinominando la costante arbitraria.
Avevo pensato a questa evenienza, e alla fine era proprio questo
Ti ringrazio anche per la spiegazione, in effetti questo in parte già lo sapevo, ma non so' perché mi sono confuso
Alla prossima!
P.S.
Una cosa del genere, potrebbe essere considerata "errore" ad un esame di Analisi I?
"Andrea57":
Una cosa del genere, potrebbe essere considerata "errore" ad un esame di Analisi I?
Secondo me sì... Quindi presta la dovuta attenzione.
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