Equazione differenziale particolare
Ciao a tutti, vorrei sapere se e dove sto sbagliando nella risoluzione della seguente equazione differenziale:
[tex]$\dot{y} = y + x\sqrt{y}$[/tex] .
L'equazione è della forma [tex]$P(x,y) + Q(x,y) \dot{y}= 0 $[/tex] .
Ho [tex]$P(x,y) = y + x\sqrt{y}$[/tex] e [tex]$Q(x,y) = 1$[/tex] (è possibile che Q sia uguale a 1?). Scelgo una variabile ausiliaria e la chiamo z. Pongo [tex]$y = zx^2$[/tex] (ho scelto bene???) e ottengo [tex]$P(x,zx^2) = zx^2 + x^2 \sqrt{z} = x^2 (z + \sqrt{z})$[/tex] . L'equazione differenziale per [tex]$z$[/tex] è: [tex]$2zx + \dot{z}x^2 = z + \sqrt{z}$[/tex] . Ora non riesco a separare le variabili...dove sta lo sbaglio??? grazie in anticipo!
[tex]$\dot{y} = y + x\sqrt{y}$[/tex] .
L'equazione è della forma [tex]$P(x,y) + Q(x,y) \dot{y}= 0 $[/tex] .
Ho [tex]$P(x,y) = y + x\sqrt{y}$[/tex] e [tex]$Q(x,y) = 1$[/tex] (è possibile che Q sia uguale a 1?). Scelgo una variabile ausiliaria e la chiamo z. Pongo [tex]$y = zx^2$[/tex] (ho scelto bene???) e ottengo [tex]$P(x,zx^2) = zx^2 + x^2 \sqrt{z} = x^2 (z + \sqrt{z})$[/tex] . L'equazione differenziale per [tex]$z$[/tex] è: [tex]$2zx + \dot{z}x^2 = z + \sqrt{z}$[/tex] . Ora non riesco a separare le variabili...dove sta lo sbaglio??? grazie in anticipo!
Risposte
È un'equazione di Bernoulli con esponente [tex]$\tfrac{1}{2}$[/tex].
La sostituzione giusta dovrebbe essere [tex]$z=y^{1-\frac{1}{2}}=y^\frac{1}{2}$[/tex], ossia [tex]$y=z^2$[/tex].
La sostituzione giusta dovrebbe essere [tex]$z=y^{1-\frac{1}{2}}=y^\frac{1}{2}$[/tex], ossia [tex]$y=z^2$[/tex].
grazie mille, purtroppo in analisi non abbiamo fatto questo tipo di equazione e sfogliando i libri ho trovato solo ciò che scritto io 
grazie! 
grazie!
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