Equazione differenziale ordine superiore al secondo
Chiedo consigli per la risoluzione della seguente equazione differenziale:
$ y^(4)+y'' = 1/cos^2x+1 $ ,
(dove $ y^(4) $ non è una potenza, ma indica la derivata di ordine 4, non son riuscita a far comparire la parentesi tonda!),
di cui bisogna ricercare l'integrale generale dell'equazione omogenea e l'integrale generale dell'equazione completa.
Per quanto riguarda l'integrale generale della omogenea, scritta l'equazione caratteristica:
$ alpha ^4+alpha ^2=0 $ , ho determinato le radici:
$ alpha =0 $ (molteplicità 2), $ alpha = +-i $.
Quindi ricavo facilmente la soluzione finale della omogenea:
$ z(x) = a+bx+c*cosx+d*sinx $ , con $ a,b,c,d $ costanti reali.
Ho avuto invece difficoltà a trovare una soluzione particolare della completa.
Ho pensato di operare come segue:
Considerata la formula di Eulero per i numeri complessi, ottengo che:
$ cosx= Re(e^(ix)) $ e quindi l'equazione si trasforma in:
$ y^4+y''=[Re(e^(ix))]^-2+1 $ .
Ho pensato di risolvere tramite il metodo di sovrapposizione separatamente le due equazioni:
1) $ y^4+y''=e^(-2ix) $ (nella cui soluzione considererò solo la parte reale) e
2) $ y^4+y''=1 $ .
Consideriamo la 2).
Effettuo la posizione:
$ y''=t $ e applico il metodo di somiglianza alla: $ t''+t=1 $ . Il termine forzante è un polinomio di grado 0, quindi sarà:
$ t(x)= h $ , h costante reale. Sostituendo trovo: h=1 e, quindi, integrando due volte, trovo la $ y(x)= x^2/2+k $ , k costante reale.
Consideriamo la 1).
Effettuo la posizione:
$ y''=t $ e applico il metodo di somiglianza alla: $ t''+t= e^(-2ix) $ , $ lambda =-2i $ .
Cerchiamo soluzioni del tipo: $ t(x)=gamma (x)*e^(lambda x) $ . $ lambda $ non è soluzione dell'equazione caratteristica. Allora $ gamma = -1/3 $ , quindi $ t(x)= -1/3*e^(-2ix) $ e integro due volte per ottenere la $ y(x)=-1/(12)*e^(-2ix) $ . Ora di questa soluzione devo prendere la parte reale (come faccio???). So già che la risoluzione dell'equazione completa è sbagliata, ma davvero non ho trovato altro modo di procedere.
Grazie in anticipo per le vostre correzioni ed i vostri preziosi suggerimenti.
$ y^(4)+y'' = 1/cos^2x+1 $ ,
(dove $ y^(4) $ non è una potenza, ma indica la derivata di ordine 4, non son riuscita a far comparire la parentesi tonda!),
di cui bisogna ricercare l'integrale generale dell'equazione omogenea e l'integrale generale dell'equazione completa.
Per quanto riguarda l'integrale generale della omogenea, scritta l'equazione caratteristica:
$ alpha ^4+alpha ^2=0 $ , ho determinato le radici:
$ alpha =0 $ (molteplicità 2), $ alpha = +-i $.
Quindi ricavo facilmente la soluzione finale della omogenea:
$ z(x) = a+bx+c*cosx+d*sinx $ , con $ a,b,c,d $ costanti reali.
Ho avuto invece difficoltà a trovare una soluzione particolare della completa.
Ho pensato di operare come segue:
Considerata la formula di Eulero per i numeri complessi, ottengo che:
$ cosx= Re(e^(ix)) $ e quindi l'equazione si trasforma in:
$ y^4+y''=[Re(e^(ix))]^-2+1 $ .
Ho pensato di risolvere tramite il metodo di sovrapposizione separatamente le due equazioni:
1) $ y^4+y''=e^(-2ix) $ (nella cui soluzione considererò solo la parte reale) e
2) $ y^4+y''=1 $ .
Consideriamo la 2).
Effettuo la posizione:
$ y''=t $ e applico il metodo di somiglianza alla: $ t''+t=1 $ . Il termine forzante è un polinomio di grado 0, quindi sarà:
$ t(x)= h $ , h costante reale. Sostituendo trovo: h=1 e, quindi, integrando due volte, trovo la $ y(x)= x^2/2+k $ , k costante reale.
Consideriamo la 1).
Effettuo la posizione:
$ y''=t $ e applico il metodo di somiglianza alla: $ t''+t= e^(-2ix) $ , $ lambda =-2i $ .
Cerchiamo soluzioni del tipo: $ t(x)=gamma (x)*e^(lambda x) $ . $ lambda $ non è soluzione dell'equazione caratteristica. Allora $ gamma = -1/3 $ , quindi $ t(x)= -1/3*e^(-2ix) $ e integro due volte per ottenere la $ y(x)=-1/(12)*e^(-2ix) $ . Ora di questa soluzione devo prendere la parte reale (come faccio???). So già che la risoluzione dell'equazione completa è sbagliata, ma davvero non ho trovato altro modo di procedere.
Grazie in anticipo per le vostre correzioni ed i vostri preziosi suggerimenti.
Risposte
Insomma hai fatto TUTTO (e anche bene) tranne l'ultimo minimo dettaglio: non sai prendere la parte reale di $e^{-2ix}$. 
Cosa che tra l'altro hai già fatto sopra. Si tratta di un evidente blocco psicologico.
Ho solo un appunto, secondo me devi cambiare un segno: la soluzione corretta dell'equazione non omogenea è \(y(x)=\frac{1}{12}e^{-2ix}.\) Te ne accorgi imponendo che \(y\) sia soluzione di \(y^{(4)} + y^{(2)} = e^{-2i x}.\)
Cosa che tra l'altro hai già fatto sopra. Si tratta di un evidente blocco psicologico.Ho solo un appunto, secondo me devi cambiare un segno: la soluzione corretta dell'equazione non omogenea è \(y(x)=\frac{1}{12}e^{-2ix}.\) Te ne accorgi imponendo che \(y\) sia soluzione di \(y^{(4)} + y^{(2)} = e^{-2i x}.\)
Ahahah mi rendi felice con questo commento, credevo di aver sbagliato tutta la seconda parte! Anche perché cercando la soluzione con il risolutore online mi uscivano numeri diversi
Per quanto riguarda il segno, hai ragione, ho ricontrollato ed ho sbagliato
Per quanto riguarda la parte reale a questo punto credo mi basti scrivere:
$ y(x)= 1/12*Re(e^(-2ix)) $
Confermi?
Per quanto riguarda il segno, hai ragione, ho ricontrollato ed ho sbagliato
Per quanto riguarda la parte reale a questo punto credo mi basti scrivere:
$ y(x)= 1/12*Re(e^(-2ix)) $
Confermi?
In queste cose c'è da tenere presente un fatto semplicissimo: non si può sbagliare, perché quando uno trova un risultato, è sufficiente sostituirlo nell'equazione per vedere se è giusto o sbagliato. È così che mi sono accorto del segno sbagliato. Quindi se il risolutore online da un risultato diverso, ma noi abbiamo controllato e il nostro risultato risolve l'equazione, noi siamo nel giusto e possiamo dormire sonni tranquilli.
Per quanto riguarda la parte reale, io lo accetterei pure, ma ti costa davvero così tanto accorgerti che
\[
\Re(e^{-2ix})=\cos(2x)?\]
Per quanto riguarda la parte reale, io lo accetterei pure, ma ti costa davvero così tanto accorgerti che
\[
\Re(e^{-2ix})=\cos(2x)?\]
Giusto! Come hai detto tu, "dissonance":
Si tratta di un evidente blocco psicologico.
Non volevo proprio accorgermene. Comunque grazie per i consigli, adesso posso davvero dormire sonni tranquilli
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