Equazione differenziale ordinaria

[ale88]

Ciao a tutti! Ho un esercizio sulle equazioni differenziali in cui ho parecchi dubbi....

" Data l'equazione differenziale

[math]y'=(x^2 + y^2)(1-sin^2y)[/math]

a) discutere l'esistenza e l'unicità locale delle soluzioni
b) provare che le soluzioni con dato y(0)=0 è prolungabile su R
c) provare che esiste

[math]\lim_{\mathbf{x} \to \mathbf{\infty}} y(\mathbf{x})[/math]

dove y(x) è la soluzione del problema di Cauchy al punto b). Calcolare poi tale limite"

Alllora, per il punto a) io ho risposto così :tale funzione è di classe

[math]C^\infty[/math]

, prodotto di due funzioni derivabili infinite volte con derivate continue, per cui possono valere le ipotesi di qualsiasi teorema di esistenza e unicità.

per gli altri due punti, buio totale...perchè in sostanza non riesco a trovare le soluzioni di quell'equazione, e non so se c'è un modo per cui possa rispondere senza trovarle...

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, bada bene che il problema di Cauchy

[math]\begin{cases} y' = \left(x^2 + y^2\right)\left(1 - \sin^2 y\right) \\ y(a) = b \end{cases}\\[/math]

ammette una e una sola soluzione locale, per ogni punto iniziale

[math](a,\,b)\in \mathbb{R}^2[/math]

,
dato che

[math]f(x,\,y) = \left(x^2 + y^2\right)\left(1 - \sin^2 y\right)[/math]

è di classe

[math]C^1\left(\mathbb{R}^2\right)\\[/math]

.


Ora consideriamo la soluzione

[math]y(x)\\[/math]

del problema

[math]\begin{cases} y' = \left(x^2 + y^2\right)\left(1 - \sin^2 y\right) \\ y(0) = 0 \end{cases}\\[/math]

e sia J il suo intervallo massimale. Si nota che y(x) è una funzione dispari (perché?)

Per

[math]b = \pm\frac{\pi}{2}[/math]

(e per ogni

[math]a\in\mathbb{R}[/math]

) la soluzione del problema di Cauchy è la
costante

[math]\pm\frac{\pi}{2}[/math]

, dunque il grafico di

[math]y(x)[/math]

è contenuto nella striscia di piano

[math]-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\\[/math]

.

In un intorno di

[math]x=0[/math]

lo sviluppo di Taylor è del tipo

[math]\small y = \frac{x^3}{3} + o\left(x^3\right)[/math]

.
Ne segue che esiste

[math]\delta > 0[/math]

t.c.

[math]y(x) > 0[/math]

per

[math]0 < x < \delta\\[/math]

.

Da quanto precede possiamo dire che

[math]0 < y(x) < \frac{\pi}{2}[/math]

, per ogni

[math]x \in J \, \cap \, ]0,\,+\infty[[/math]

, e quindi

[math]y(x)[/math]

è strettamente crescente in

[math]J \, \cap ]0,\,+\infty[\\[/math]

.

Supponiamo ora, per assurdo, che

[math]J \, \cap \, ]0,\,+\infty[ \, \ne \, ]0, \, +\infty[[/math]

e sia

[math]m = \sup J \, \cap \, ]0,\,+\infty[[/math]

. Allora per

[math]x \to m^-[/math]

, per la monotonia
esiste il limite

[math]\begin{aligned}\lim_{x\to m^-} y(x) = \underset{0 < x < m}{\sup} y(x) = s < \pi/2\end{aligned}[/math]

(Perché non
posso dire che il limite è y(m)?) quindi se y* è la soluzione del problema

[math]\begin{cases} y' = \left(x^2 + y^2\right)\left(1 - \sin^2 y\right) \\ y(m) = s \end{cases}\\[/math]

la soluzione massimale y(x) sarebbe prolungabile mediante

[math]y^*(x)[/math]

oltre il punto

[math]x = m[/math]

, contro la massimalità di

[math]J[/math]

. Quindi

[math]J \, \cap \, ]0,\,+\infty[ \, = \, ]0, \, +\infty[[/math]

e
poiché

[math]y(x)[/math]

è dispari,

[math]J = \mathbb{R}\\[/math]

.


A questo punto, dato che

[math]y(x)[/math]

è strettamente crescente su

[math]\mathbb{R}[/math]

, esiste

[math]\begin{aligned} \lim_{x \to +\infty} \underset{\mathbb{R}}{\sup} y(x) \le \pi/2\end{aligned}[/math]

dove la disuguaglianza segue da

[math]\small y(x) < \pi/2[/math]

,
per ogni

[math]x[/math]

. Sia

[math]L[/math]

il valore del limite. Saremo tentati di dire che "siccome
y(x) è crescente ed ha limite finito, allora

[math]\small y'(x) \to 0[/math]

, quindi

[math]\small y(x) \to \pi/2[/math]

,
per cui

[math]L = \pi/2\\[/math]

" . Ma quell'allora è una falsa deduzione.

La soluzione di

[math]\begin{cases} z' = x^2\,\left(1 - \sin^2 z\right) \le \left(x^2 + z^2\right)\left(1 - \sin^2 z\right) \\ z(0) = 0 \end{cases}\\[/math]

è

[math]z(x) = \arctan\left(x^3/3\right)[/math]

. Per il teorema del confronto,

[math]\small y(x)\ge z(x) = \arctan\left(x^3/3\right)[/math]

nell'intervallo

[math][0,\,+\infty[[/math]

.
Segue che

[math]L = \pi/2\\[/math]

.

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[ciampax]

Scusa TeM, non vorrei dire una cavolata (perché adesso sono cotto dalla prova di Italiano), ma considerato che a me pare

[math]y'[/math]

pari, non dovrebbe essere

[math]y[/math]

dispari?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Mi son sempre detto che dopo una certa ora non dovrei rispondere ma ieri
sera avevo troppo voglia di occuparmi di qualcosa che non c'entrasse nulla
con l'esame di oggi e domani (non di maturità xD) ed ecco l'errore di battitura.
Ora ho corretto in rosso quelle due paroline sperando non vi siano altri refusi.

Quanto al fatto "y(x) è dispari perché y'(x) è pari", mi riesce difficile dire
che y'(x) sia pari visto che a priori non ho alcuna informazione su y(-x) ...
Io, invece, farei vedere che se y(x) è soluzione del problema di Cauchy
anche la funzione z(x) = - y(-x) è soluzione del problema, quindi ...

Può andare come ragionamento? In ogni modo grazie per essere intervenuto. :)

[ale88]

Grazie mille per l'intera risoluzione! Come sempre davvero gentili!!