Equazione differenziale omogenea del secondo ordine
Ho questo esercizio:
" Verificare che tra le soluzioni dell'equazione differenziale
$y''-(xsinx)/(sinx-xcosx)y'+sinx/(sinx-xcosx)y=0$
c'è un polinomio di primo grado e la funzione $y_2(x)=sinx$.
Determinare poi la soluzione del problema di Cauchy con condizioni iniziali
$y(pi/4)=1$ $ y'(pi/4)=0$ "
Siccome è un'equazione omogenea del secondo ordine e, dopo aver verifcato che $y_1(x)=x$ e $y_2(x)=sinx$, ho due soluzioni linearmente indipendenti, tutte le soluzioni dell'equazione sono del tipo: $y(x)=c_1 sinx+c_2 x$.
Imponendo le condizioni iniziali e risolvendo il sistema ottengo che la soluzione del problema di Cauchy è:
$y_*(x)=2sinx/(sqrt(2)(1-pi/4)) + 4/(4-pi)x$.
Ovviamente mi sembra troppo facile, soprattutto perchè è un esercizio di cui è richiesto lo svolgimento.
Però purtroppo non sono riuscito a notare niente di particolare, se non che il denominatore dei due coefficienti di $y$ e $y'$ dell'equazione si annulla in alcuni punti, se non sbaglio quando $x=tgx$, che comunque non mi sembra intaccare le ipotesi di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy dato. Probabilmente dovrei specificare che la soluzione è definita su $(0,alpha)$, dove $alpha in (4,5)$. E' così e non c'è davvero nient'altro da osservare?
Prima ho detto che le due soluzioni particolari sono linearmente indipendenti perchè non mi pare possibile esprimere il seno come combinazione lineare di polinomi di primo grado, mi viene da pensare che nemmeno due polinomi di grado diverso siano dipendenti, ma non so come stabilirlo con certezza, qualche dritta?
Grazie in anticipo
Altra domanda:
stamattina non avevo il testo dell'esercizio e mi è stata data solo l'equazione; al che ho notato che $x$ era soluzione, ma non mi sono accorto della seconda ed ho provato a risolverla con un altro metodo, ossia ponendo $y=xu$, da cui $y'=u+xu'$ e $y''=2u'+xu''$.
Sostituendo sono arrivato ad avere:
$u''+(2/x-xsinx/(sinx+xcosx))u'=0$, e risolvendo nell'incognita $u'$ con la separazione delle variabili, così
$int_(u'_0)^(u'(x))1/t dt =int_(x_0)^(x)[tsint/(sint-tcost) - 2/t]dt$, dopo qualche conto non molto bello ricavo la soluzione $u'(x)=c/((sinx-xcosx)x^2)$, dove $c$ dovrebbe essere uguale a una schifezza del tipo $(sin(x_0)-x_0cos(x_0))(x_0)^2 u'_0$. Ora dovrei integrare $u'$, ma la primitiva non è calcolabile (se non sbaglio).
Come si spiega esattamente questa cosa? Scusate per la domanda stupida, ma mi dà fastidio che questo bel metodo non funzioni!
" Verificare che tra le soluzioni dell'equazione differenziale
$y''-(xsinx)/(sinx-xcosx)y'+sinx/(sinx-xcosx)y=0$
c'è un polinomio di primo grado e la funzione $y_2(x)=sinx$.
Determinare poi la soluzione del problema di Cauchy con condizioni iniziali
$y(pi/4)=1$ $ y'(pi/4)=0$ "
Siccome è un'equazione omogenea del secondo ordine e, dopo aver verifcato che $y_1(x)=x$ e $y_2(x)=sinx$, ho due soluzioni linearmente indipendenti, tutte le soluzioni dell'equazione sono del tipo: $y(x)=c_1 sinx+c_2 x$.
Imponendo le condizioni iniziali e risolvendo il sistema ottengo che la soluzione del problema di Cauchy è:
$y_*(x)=2sinx/(sqrt(2)(1-pi/4)) + 4/(4-pi)x$.
Ovviamente mi sembra troppo facile, soprattutto perchè è un esercizio di cui è richiesto lo svolgimento.
Però purtroppo non sono riuscito a notare niente di particolare, se non che il denominatore dei due coefficienti di $y$ e $y'$ dell'equazione si annulla in alcuni punti, se non sbaglio quando $x=tgx$, che comunque non mi sembra intaccare le ipotesi di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy dato. Probabilmente dovrei specificare che la soluzione è definita su $(0,alpha)$, dove $alpha in (4,5)$. E' così e non c'è davvero nient'altro da osservare?
Prima ho detto che le due soluzioni particolari sono linearmente indipendenti perchè non mi pare possibile esprimere il seno come combinazione lineare di polinomi di primo grado, mi viene da pensare che nemmeno due polinomi di grado diverso siano dipendenti, ma non so come stabilirlo con certezza, qualche dritta?
Grazie in anticipo
Altra domanda:
stamattina non avevo il testo dell'esercizio e mi è stata data solo l'equazione; al che ho notato che $x$ era soluzione, ma non mi sono accorto della seconda ed ho provato a risolverla con un altro metodo, ossia ponendo $y=xu$, da cui $y'=u+xu'$ e $y''=2u'+xu''$.
Sostituendo sono arrivato ad avere:
$u''+(2/x-xsinx/(sinx+xcosx))u'=0$, e risolvendo nell'incognita $u'$ con la separazione delle variabili, così
$int_(u'_0)^(u'(x))1/t dt =int_(x_0)^(x)[tsint/(sint-tcost) - 2/t]dt$, dopo qualche conto non molto bello ricavo la soluzione $u'(x)=c/((sinx-xcosx)x^2)$, dove $c$ dovrebbe essere uguale a una schifezza del tipo $(sin(x_0)-x_0cos(x_0))(x_0)^2 u'_0$. Ora dovrei integrare $u'$, ma la primitiva non è calcolabile (se non sbaglio).
Come si spiega esattamente questa cosa? Scusate per la domanda stupida, ma mi dà fastidio che questo bel metodo non funzioni!
Risposte
up
A me viene come soluzione con il secondo metodo la cosa seguente:
[tex]$u'(x)=\frac{c(\sin x-x\cos x)}{x^2}$[/tex]
e visto che [tex]$u'=\frac{y' x-y}{x^2}$[/tex] ti puoi ricondurre all'equazione lineare
[tex]$x y'-y=c(\sin x-x\cos x)$[/tex]
A questo punto farei così: puoi riscrivere l'equazione come [tex]$x(y'+c\cos x)=y+c\sin x$[/tex] e porre [tex]$z=y+c\sin x$[/tex] per risolvere.
Per quanto riguarda la prima domanda, a me pare che l'esercizio, per quanto possa sembrarti semplice, richiede solamente di sostituire, nella equazione, le due funzioni [tex]$y=ax+b,\ y=\sin x$[/tex] per verificare che esse la soddisfino. A quel punto, essendo l'equazione lineare omogenea, vale il principio di sovrapposizione e, come giustamente da te affermato, la soluzione sarà combinazione lineare delle due. Per verificare che le due soluzioni sono linearmente indipendenti ti basta chiederti per quali costanti [tex]$Ax+B\sin x=0$[/tex] per ogni valore di [tex]$x$[/tex]. Sostituendo due valori a caso, ad esempio [tex]$x=\pi/2, x=\pi$[/tex] ottieni le condizioni [tex]$A\pi/2+B=0,\ A\pi=0$[/tex] le cui uniche soluzioni sono [tex]$A=B=0$[/tex], da cui concludi, per definizione, l'indipendenza lineare delle soluzioni.
[tex]$u'(x)=\frac{c(\sin x-x\cos x)}{x^2}$[/tex]
e visto che [tex]$u'=\frac{y' x-y}{x^2}$[/tex] ti puoi ricondurre all'equazione lineare
[tex]$x y'-y=c(\sin x-x\cos x)$[/tex]
A questo punto farei così: puoi riscrivere l'equazione come [tex]$x(y'+c\cos x)=y+c\sin x$[/tex] e porre [tex]$z=y+c\sin x$[/tex] per risolvere.
Per quanto riguarda la prima domanda, a me pare che l'esercizio, per quanto possa sembrarti semplice, richiede solamente di sostituire, nella equazione, le due funzioni [tex]$y=ax+b,\ y=\sin x$[/tex] per verificare che esse la soddisfino. A quel punto, essendo l'equazione lineare omogenea, vale il principio di sovrapposizione e, come giustamente da te affermato, la soluzione sarà combinazione lineare delle due. Per verificare che le due soluzioni sono linearmente indipendenti ti basta chiederti per quali costanti [tex]$Ax+B\sin x=0$[/tex] per ogni valore di [tex]$x$[/tex]. Sostituendo due valori a caso, ad esempio [tex]$x=\pi/2, x=\pi$[/tex] ottieni le condizioni [tex]$A\pi/2+B=0,\ A\pi=0$[/tex] le cui uniche soluzioni sono [tex]$A=B=0$[/tex], da cui concludi, per definizione, l'indipendenza lineare delle soluzioni.
Anzitutto grazie della risposta.
Però non mi torna la $u'$ che hai trovato, ho ricontrollato bene e mi sembra giusta la mia.
Se l'equazione che ho scritto e risolto in $u'$ è giusta, i due termini che poi si portano di là sono uno negativo e l'altro poitivo, integrati sono entrambi logaritmi, però uno cambia di segno, e diventano concordi. Come fa a tornarti a numeratore $(sinx-xcosx)$?
In ogni caso affascinato dai passaggi che hai fatto dopo!
Un'ultima cosa, per quanto riguarda l'intervallo di definizione della soluzione è giusta la mia considerazione?
Però non mi torna la $u'$ che hai trovato, ho ricontrollato bene e mi sembra giusta la mia.
Se l'equazione che ho scritto e risolto in $u'$ è giusta, i due termini che poi si portano di là sono uno negativo e l'altro poitivo, integrati sono entrambi logaritmi, però uno cambia di segno, e diventano concordi. Come fa a tornarti a numeratore $(sinx-xcosx)$?
In ogni caso affascinato dai passaggi che hai fatto dopo!
Un'ultima cosa, per quanto riguarda l'intervallo di definizione della soluzione è giusta la mia considerazione?
[tex]$(\sin x-x\cos x)'=\cos x-\cos x+x\sin x=x\sin x$[/tex] per cui l'integrale a destra diventa [tex]$\log|\sin x-x\cos x|-\log x^2=\log\left|\frac{\sin x-x\cos x}{x^2}\right|$[/tex].
Per quanto riguarda l'intervallo di definizione mi pare che il ragionamento fili.
Per quanto riguarda l'intervallo di definizione mi pare che il ragionamento fili.
Hai ragione, continuavo a vederci un meno davanti!
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