Equazione differenziale omogenea a termini non costanti.
Salve ragazzi ,sono un nuovo utente di questo forum,oltre ai doverosi saluti,volevo porvi i seguenti quesiti.
Ho l'esame di analisi lunedì ed ho un problema su 2 esercizi(semplici) facenti parte del pretest del medesimo esame.
Il primo è una equazione di secondo grado omogenea a termini non costanti,vi riporto direttamente l'esercizio:
Quale delle seguenti funzioni e soluzione della seguente equazione di fferenziale: $ y'' +( 2x / (1+x^2)) y' = 0 $,
con condizioni
y(0) = 2.
u'(0) = 1.
Risposte:
(A) $ y(x) = 2 log(x) $ (B) $ y(x) = arctan(x) + 2 $
(C) $ y(x) = 2e^(x) + x*e^(x) $ (D) $ y(x) = e^(x) + e^(2x) $
Il secondo un integrale doppio,del quale so' di dover applicare la definizione di integrale curvilineo di una funzione su una curva definita come curva cartesiana,ma non la ricordo e non riesco a trovarla.
Vi riporto l'esercizio in questione:
Siano C la parabola di equazione $ y = x^2 + 2 $ e f(x, y) = $ x^2*y $. Calcolare l'integrale di f esteso a C.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,spero possiate dare risposta a queste mie piccole mancanze prima di lunedì,giorno dell'esame:),a presto^^.
Ho l'esame di analisi lunedì ed ho un problema su 2 esercizi(semplici) facenti parte del pretest del medesimo esame.
Il primo è una equazione di secondo grado omogenea a termini non costanti,vi riporto direttamente l'esercizio:
Quale delle seguenti funzioni e soluzione della seguente equazione di fferenziale: $ y'' +( 2x / (1+x^2)) y' = 0 $,
con condizioni
y(0) = 2.
u'(0) = 1.
Risposte:
(A) $ y(x) = 2 log(x) $ (B) $ y(x) = arctan(x) + 2 $
(C) $ y(x) = 2e^(x) + x*e^(x) $ (D) $ y(x) = e^(x) + e^(2x) $
Il secondo un integrale doppio,del quale so' di dover applicare la definizione di integrale curvilineo di una funzione su una curva definita come curva cartesiana,ma non la ricordo e non riesco a trovarla.
Vi riporto l'esercizio in questione:
Siano C la parabola di equazione $ y = x^2 + 2 $ e f(x, y) = $ x^2*y $. Calcolare l'integrale di f esteso a C.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto,spero possiate dare risposta a queste mie piccole mancanze prima di lunedì,giorno dell'esame:),a presto^^.
Risposte
$x2$ sarebbe $x^2$ e u'(0) sarebbe y'(0) ?
"istochebotta":
$x2$ sarebbe $x^2$ e u'(0) sarebbe y'(0) ?
Si,scusa,mio errore,ho corretto $ x2 $ ,come $ x?2 $.
Per quanto riguarda u',nell'esercizio lo chiama così,ma come hai già correttamente osservato equivale ad y'.
Spero che qualcuno dia una mano...
Comunque (anche se ho sbagliato) ho fatto:
per trovare la soluzione omogenea
$z^2+(2x/(1+x^2))z=0$
$z(z+2x/(1+x^2))$ trovo $z1=0$ e $z2=-2x/(1+x^2)$
quindi $y(x)=c1*e^(-2x/(1+x^2))+c2$
dato che $y(0)=2$ e $y'(0)=1$
$c1+c2=2$
$y'(x)=c1*(2e^(-2x/(1+x^2))*(x^2-1)/(x^2+1)^2)$
dato che $y'(0)=1$
$c1=-1/2$ e $c2=5/2$
la mia $y(x)= -1/2*e^(-2x/(1+x^2))+5/2$
...c'ho provato!
Comunque (anche se ho sbagliato) ho fatto:
per trovare la soluzione omogenea
$z^2+(2x/(1+x^2))z=0$
$z(z+2x/(1+x^2))$ trovo $z1=0$ e $z2=-2x/(1+x^2)$
quindi $y(x)=c1*e^(-2x/(1+x^2))+c2$
dato che $y(0)=2$ e $y'(0)=1$
$c1+c2=2$
$y'(x)=c1*(2e^(-2x/(1+x^2))*(x^2-1)/(x^2+1)^2)$
dato che $y'(0)=1$
$c1=-1/2$ e $c2=5/2$
la mia $y(x)= -1/2*e^(-2x/(1+x^2))+5/2$
...c'ho provato!
"istochebotta":
Spero che qualcuno dia una mano...
Comunque (anche se ho sbagliato) ho fatto:
per trovare la soluzione omogenea
$z^2+(2x/(1+x^2))z=0$
$z(z+2x/(1+x^2))$ trovo $z1=0$ e $z2=-2x/(1+x^2)$
quindi $y(x)=c1*e^(-2x/(1+x^2))+c2$
dato che $y(0)=2$ e $y'(0)=1$
$c1+c2=2$
$y'(x)=c1*(2e^(-2x/(1+x^2))*(x^2-1)/(x^2+1)^2)$
dato che $y'(0)=1$
$c1=-1/2$ e $c2=5/2$
la mia $y(x)= -1/2*e^(-2x/(1+x^2))+5/2$
...c'ho provato!
SI era ciò che avevo provato anche io,ma ho visto che non dava il risultato^^,cmq ti ringrazio ugualmente per l'aiuto,se dovesse venirti qualcosa in mente fammi sapere
.
Per quanto riguarda l'equazione differenziale, ti conviene effettuare la sostituzione $z=y'$ e a quel punto l'equazione è a variabili separabili.
Per il secondo esercizio: dal testo dell'esercizio mi pare di capire che tu debba calcolare l'integrale curvilineo su quella parabola, non l'integrale doppio che è un'altra cosa. Cos'è che non riesci a trovare? La definizione? Ma non hai un testo di riferimento?
Per il secondo esercizio: dal testo dell'esercizio mi pare di capire che tu debba calcolare l'integrale curvilineo su quella parabola, non l'integrale doppio che è un'altra cosa. Cos'è che non riesci a trovare? La definizione? Ma non hai un testo di riferimento?
"Antimius":
Per quanto riguarda l'equazione differenziale, ti conviene effettuare la sostituzione $z=y'$ e a quel punto l'equazione è a variabili separabili.
Per il secondo esercizio: dal testo dell'esercizio mi pare di capire che tu debba calcolare l'integrale curvilineo su quella parabola, non l'integrale doppio che è un'altra cosa. Cos'è che non riesci a trovare? La definizione? Ma non hai un testo di riferimento?
Ok grazie,più tardi proverò con il cambio di variabili e ti farò sapere.
Per quanto riguarda l'integrale,non so' se devo effettuare una parametrizzazione della parabola o cosa,potresti farmi vadere come lo risolveresti tu?
Grazie tante
il risultato è la B
$y(x) = arctan(x) + 2$
ma ancora capisco come ci si arrivi
$y(x) = arctan(x) + 2$
ma ancora capisco come ci si arrivi
Per quanto riguarda l'equazione,la sto' riguardando adesso,ma non riesco ad arrivare ad una soluzione.
Ho posto ,come mi hai consigliato tu , $ y' = z $ ,mi da' un delta negativo,di conseguenza ho una soluzione dell'omogenea con seno e coseno,ma non mi da',sempre se non ti troppo di disturbo,potresti farmi vedere come la faresti tu?
Grazie mille.
Ho posto ,come mi hai consigliato tu , $ y' = z $ ,mi da' un delta negativo,di conseguenza ho una soluzione dell'omogenea con seno e coseno,ma non mi da',sempre se non ti troppo di disturbo,potresti farmi vedere come la faresti tu?
Grazie mille.
"istochebotta":
il risultato è la B
$y(x) = arctan(x) + 2$
ma ancora capisco come ci si arrivi
Per caso hai provato con una calcolatrice grafica?
Anche a me da' così se la utilizzo,per la precisione:
$ y=c1*arctg(x)+c2 $
poi facendo la derivata e sostituendo mi da' $ arctg(x)+2 $
ps.da quanto ho capito devo poi eliminare l'elemento c che moltiplica ,in questo caso, l'arcgt,che non so' perchè la calcolatrice inserisce.
mi ci stò impallando...
mica mi sfugge qualche collegamento tra $arctg(x)$ e $e^(-(2x)/(1+x^2))$ ?
ho questo dubbio perchè $arctg'(x) = 1/(1+x^2)$ e $arctg''(x) = -(2x)/(1+x^2)^2$ che sembrano 'parenti' a $e^(-(2x)/(1+x^2))$
aiutooo!!
mica mi sfugge qualche collegamento tra $arctg(x)$ e $e^(-(2x)/(1+x^2))$ ?
ho questo dubbio perchè $arctg'(x) = 1/(1+x^2)$ e $arctg''(x) = -(2x)/(1+x^2)^2$ che sembrano 'parenti' a $e^(-(2x)/(1+x^2))$
aiutooo!!
"istochebotta":
mi ci stò impallando...
mica mi sfugge qualche collegamento tra $arctg(x)$ e $e^(-(2x)/(1+x^2))$ ?
ho questo dubbio perchè $arctg'(x) = 1/(1+x^2)$ e $arctg''(x) = -(2x)/(1+x^2)^2$ che sembrano 'parenti' a $e^(-(2x)/(1+x^2))$
aiutooo!!
Ma infatti dovrebbe essere semplice,visto che è un pretest,per me sbagliamo l'interpretazione dell'esercizio,mi hanno detto di stare attento perchè è una equazione differenziale omogenea a termini non costanti...peccato che sappia cosa voglia dire...
Se sostituite come vi è stato detto $y'=u$, da cui $y''=u'$ si ottiene questa:
$u' + 2x/(x^2+1) u = 0 $ e quindi $(u')/u = -2x/(x^2+1)$. Da qui sapete trovare $u$ spero, una volta trovata imponete le condizione iniziale $y'(0)=1$ (siccome $u=y'$), la integrate e poi imponete la condizione iniziale $y(0)=2$.
Chiaro?
Ps: il fatto che nel testo ci sia scritta una condizione iniziale su una funzione $u$ che non è nemmeno dichiarata è un errore e basta! Non fatevi confondere dal fatto che ho chiamato $u=y'$ se volete chiamatela pure pincopallino.
$u' + 2x/(x^2+1) u = 0 $ e quindi $(u')/u = -2x/(x^2+1)$. Da qui sapete trovare $u$ spero, una volta trovata imponete le condizione iniziale $y'(0)=1$ (siccome $u=y'$), la integrate e poi imponete la condizione iniziale $y(0)=2$.
Chiaro?
Ps: il fatto che nel testo ci sia scritta una condizione iniziale su una funzione $u$ che non è nemmeno dichiarata è un errore e basta! Non fatevi confondere dal fatto che ho chiamato $u=y'$ se volete chiamatela pure pincopallino.
ok...
purtroppo sono un pò lento e non capivo il discorso di cambiare $y'=u$
ora è chiaro
...grazie
purtroppo sono un pò lento e non capivo il discorso di cambiare $y'=u$
ora è chiaro
...grazie
"Giuly19":
Se sostituite come vi è stato detto $y'=u$, da cui $y''=u'$ si ottiene questa:
$u' + 2x/(x^2+1) u = 0 $ e quindi $(u')/u = -2x/(x^2+1)$. Da qui sapete trovare $u$ spero, una volta trovata imponete le condizione iniziale $y'(0)=1$ (siccome $u=y'$), la integrate e poi imponete la condizione iniziale $y(0)=2$.
Chiaro?
Ps: il fatto che nel testo ci sia scritta una condizione iniziale su una funzione $u$ che non è nemmeno dichiarata è un errore e basta! Non fatevi confondere dal fatto che ho chiamato $u=y'$ se volete chiamatela pure pincopallino.
Ok grazie,comunque non avevo effettuato la sostituzione perchè non mi era chiara quest'ultima,adesso che me lo hai esplicato ,è tutto più nitido e di conseguenza risolvibile.
Per quanto riguarda la u,è in più di un pre - test,della facoltà di ingegneria,quindi non so' fino a quanto sia un errore o meno.
Grazie ancora.
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