Equazione differenziale. non riesco a proseguire!

[edos1]

buongiorno a tutti!

ho la seguente eq differenziale : $ y''(x)+3y'(x)=-12e^(-3x) $ (1)

trovo l'omogenea facendo

$t^2 +3t = 0 t1,t2= -3; 0$

arrivo quindi ad avere $ C1 + C2e^(-3x) $

adesso devo trovare la soluzione particolare.

il problema è che non mi è ben chiaro come trovarla: so che devo trovare un polinomio generico, derivarlo e poi sostituirlo nella (1) per trovare il coefficente. ma sul mio libro non è ben chiaro e non so da dove partire. axe^-3x? oppure axe^-3x o ax e basta?

spero che qualcuno mi sappia chiarire un volta per tutte come procedere arrivati a questo punto. vi ringrazio tantissimo.

[pater46]

La $x$ è all'esponente?

[edos1]

"pater46":La $x$ è all'esponente?

si scusa, ho corretto!

[ciampax]

Attento: se come termine non omogeneo hai una funzione esponenziale $e^{ax}$ la soluzione particolare da ricercare è della forma $y_p(x)=A e^{ax}$. Tuttavia, come puoi bene vedere da te, un termine del genere è già presente, in questo caso, nella soluzione dell'omogenea: quando ciò accade, va allora cercata una soluzione particolare della forma $y_p(x)=A x e^{ax}$, in quanto quella $x$ a prodotto garantisce l'indipendenza lineare delle soluzioni. Questo è un caso particolare di quelli in cui le soluzioni dell'omogenea associata hanno molteplicità $r$ e le soluzioni relative ad esse (come in questo caso $e^{-3x}$ che è associato alla radice $t_1=-3$) si presentano nel termine omogeneo.

[edos1]

ok. ma derivando e sostituendo otterrò dei termini in $x $ e $x^2 $ è corretto ignorarli?

[ciampax]

Tu sei certo di ciò che dici? Prova a fare i calcoli e sostituire, e vedi cosa accade.