Equazione differenziale non omogenee di eulero

[elr-votailprof]

Qualcuno può spiegarmi come si procede per calcolare la soluzione particolare di un'equazione differenziale non omogenea di eulero?

[gugo82]

Variazione delle costanti?

Ad ogni modo, prova a postare un esempio.

[elr-votailprof]

tipo questa:
\(\displaystyle y" -2y/x^2=(2-x)/x^2 \)

l'omogenea associata mi risulta:
\(\displaystyle c1 e^-t+c2 e^(2t) \)

ma la soluzione particolare non sono come si procede. potete spiegarmi il metodo risolutivo? graize

[gugo82]

Il metodo generale per trovare una soluzione particolare di una EDO lineare non omogenea è quello di applicare il metodo della variazione delle costanti (di Lagrange); sul tuo libro di riferimento ci sarà sicuramente illustrato, quindi comincia da lì.

Nel caso specifico, i conti si possono fare in maniera più sbrigativa.
Infatti, la EDO si riscrive:
\[
x^2\ y^{\prime \prime} (x) - 2\ y(x) = 2 - x\; ,
\]
ossia:
\[
x^2\ y^{\prime \prime} (x) - 2\ \left( y(x) - \frac{1}{2}\ x + 1\right) =0\; ,
\]
ed introducendo la variabile ausiliaria:
\[
u(x) = y(x) - \frac{1}{2}\ x + 1
\]
essa si riscrive:
\[
x^2\ u^{\prime \prime}(x) - 2\ u(x) =0
\]
che è di Eulero omogenea. Una soluzione "tentativo" è del tipo \(u(x) = x^a\), con \(a\) da determinare sostituendo direttamente nell'equazione: dato che \(u^{\prime \prime}(x) = a(a-1)\ x^{a-2}\), si ha:
\[
a (a-1)\ x^a - 2\ x^a = 0
\]
da cui, semplificando i termini in \(x\), si ottiene l'equazione:
\[
a^2 - a -2=0
\]
la quale fornisce gli esponenti \(a=-1,2\); pertanto l'integrale generale dell'equazione ausiliaria è:
\[
u(x) = C_1\ x^{-1} + C_2\ x^2\; ;
\]
sostituendo a ritroso si ricava la soluzione generale della EDO originaria:
\[
y(x) = \frac{1}{2}\ x - 1 + \frac{C_1}{x} + C_2\ x^2\; .
\]