Equazione differenziale non omogenea secondo ordine
$ y''+3y'-4y=sint $
l'eq. caratteristica dell'omogenea associata è $ s^2+3s-4=0 $ che ha $ 1,-4 $ come radici.
Poi non so più proseguire, cioè dovrei ricavare le soluzioni di $ sint $ ma non riesco a capire come si fa !!!
l'eq. caratteristica dell'omogenea associata è $ s^2+3s-4=0 $ che ha $ 1,-4 $ come radici.
Poi non so più proseguire, cioè dovrei ricavare le soluzioni di $ sint $ ma non riesco a capire come si fa !!!
Risposte
Comincia a risolvere l'omogenea associata.
Ciao Luca questi sono le operazioni che ho fatto:
equazione associata $ s^2+3s-4=0 $ quindi $ s=1,s=-4 $
Per cui l'integrale generale dell'omogenea associata è $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t) $
Adesso troviamo la soluzione particolare per la funzione $ sint $
Proviamo con l'equazione $ w(t)=A*sint+B*cost $ , derivando otteniamo $ w'(t)=A*cost-B*sint $ e $ w''(t)=-A*sint-B*cost $
Sostituendo otteniamo che :
$ sint=sint(-5A-3B)+cos(3A+3B) $ Per il principio d'identità dei polinomi l'equazione ha senso se e solo se $ \{(-5A-3B = 1),(3A+3B = 0):} $ quindi A=-1/2, B=1/2 per tanto la soluzione della non omogenea è $ -1/2sint+1/2cost $ e l'integrale generale dell'equazione completa è: $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t)-1/2sint+1/2cost $ ma non corrisponde alla soluzione del testo , cioè : $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t)-5/34cost-3/34sint $
equazione associata $ s^2+3s-4=0 $ quindi $ s=1,s=-4 $
Per cui l'integrale generale dell'omogenea associata è $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t) $
Adesso troviamo la soluzione particolare per la funzione $ sint $
Proviamo con l'equazione $ w(t)=A*sint+B*cost $ , derivando otteniamo $ w'(t)=A*cost-B*sint $ e $ w''(t)=-A*sint-B*cost $
Sostituendo otteniamo che :
$ sint=sint(-5A-3B)+cos(3A+3B) $ Per il principio d'identità dei polinomi l'equazione ha senso se e solo se $ \{(-5A-3B = 1),(3A+3B = 0):} $ quindi A=-1/2, B=1/2 per tanto la soluzione della non omogenea è $ -1/2sint+1/2cost $ e l'integrale generale dell'equazione completa è: $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t)-1/2sint+1/2cost $ ma non corrisponde alla soluzione del testo , cioè : $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t)-5/34cost-3/34sint $
"raffaele.russo2":
Sostituendo otteniamo che :
$ sint=sint(-5A-3B)+cos(3A+3B) $
Ricontrolla
soluzione del testo , cioè : $ c_1*e^t+c_2*e^(-4t)-5/34cost-3/34sint $
Hai invertito i coefficienti di seno e coseno.
allora ottengo:
$ -Asint-Bcost+3Acost-3Bsint-4Asint+4Bcost=sint $ quindi $ sint(-5A-3B)+cost(3A+3B)=sint $ dove sbaglio??
$ -Asint-Bcost+3Acost-3Bsint-4Asint+4Bcost=sint $ quindi $ sint(-5A-3B)+cost(3A+3B)=sint $ dove sbaglio??
"raffaele.russo2":
allora ottengo:
$ -Asint-Bcost+3Acost-3Bsint-4Asint+4Bcost=sint $ [...] dove sbaglio??
L'ultimo termine al membro di sinistra è [tex]-4B\cos t[/tex]
grazie mille per cui la soluzione è $ -5/34sint-3/34cost $ per cui è sbagliato sul libro ?!
"raffaele.russo2":
grazie mille per cui la soluzione è $ -5/34sint-3/34cost $ per cui è sbagliato sul libro ?!
Temo di sì.
Ti ringrazio infinitamente ho perso una giornata per cercare di risolvere l'equazione !
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