Equazione differenziale non omogenea secondo ordine

[giuppyru-votailprof]

Salve ragazzi ho qualche problema nel risolvere alcune equazioni differenziali del secondo ordine, ve ne posto alcune, se potete illustrarmi un metodo risulutivo, io intanto vi mostro come le ho fatte sino ad ora :

1) $y''-5y'+6y=e^x$

Io mi risolvo prima l'equazione omogenea associata $y''-5y'+6y=0$ e sino a qui non credo di avere problemi e infatti trovo come soluzione $y_0=c_1*e^(3x)+c_2*e^(2x)$ ora vado a individuarmi l'equazione particolare $y_p$ (ed è qui dove credo di avere qualche problema)

pongo $y_p=axe^x$ $=>$ $y'_p=ae^x+axe^x$ $=>$ $y''_p=2ae^x+axe^x$
e ora sostituendo cio nell'equazione di partenza mi ricavo la $a$ e ottengo
$a=-1/3+1/(2x)$ i passaggi credo siano corretti giusto ?

Quindi la ima $y_p$ è : $-(xe^x)/3+e^x/2$ risultato sbagliato in quanto quello corretto dovrebbe essere : $y_p=e^x/2$

2 ) $y''-y=xe^x$ svolgo anche questa come la precedente ma pongo $y_p=ax^2e^x$ (credo che il problema sia sempre qui)

3 ) $y''-2y'-3y=(2x-1)e^x$ stessa cosa di prima con $y_p=(ax+b)e^x$ che come ormai avete capito non ne sono sicura.

Non vi chiedo di svolgermi tutti gli esercizi ma solo di illustrarmi un metodo risolutivo, e se quello che faccio io è corretto di aiutarmi a capire come scegliere $y_p$

[bomhamsik]

l'equazione particolare è $ C*e^(x) $ vedi che sostituendo nell'equazione e cercando poi la costante alias C ma puoi chiamarla anche a ti trovi $ 1/2 $... ti dovresti trovare una situazione del genere sostituendo nell'equazione....$ C*e^(x)-5C*e^(x)+6C*e^(x)=e^(x) $ e vedi che se cerchi C ti troverai il famoso 1/2....mi spiace vado di fretta ma spero di aver dato almeno un piccolissimo contributo....poi quì ci son raga più bravi di me e completeranno

[Andy1990]

no è sbagliato, allora quando tu vai a scrivere una generica funzione particolare simile
e non compaiono lambda appartenti alla soluzione omogenea,
non devi moltiplicare la soluzione particolare simile per nessuna x.
infatti se svolgi i conti le x non se ne vanno e ti rimangono due equazioni differenti con due risultati discordanti...

è più facile da fare che da scrivere...

in pratica la soluzione particolare che devi cercare è
y(x) = Ae^x = y' = y''
quindi ti rimane
Ae^x - 5Ae^x + 6Ae^x = e^x
2Ae^x = Ae^x
quindi A = 1/2
e la soluzione che cercavi vale quindi
y(x) = 1/2*e^x


per il problema numero 2 ci sono vari strade...
io ti consiglio questa:

dato che le soluzioni dell'equazione omogenea sono - e + 1, e una delle soluzioni compare come soluzione della particolare
(vedi l'esponente di e^x che è uguale a 1)
la tua soluzione particolare andrà moltiplicata per x....
però, se non sbaglio, cè un passaggio in più da fare perkè compare già una x come soluzione particolare...(una potenza quindi)
allora devi moltiplicare il tutto per una potenza simile dello stesso grado : Ax + B

quindi la soluzione particolare sarà
(Ax + B)*x*e^x

[faximusy]

"Josephine":

1) $y''-5y'+6y=e^x$

Io mi risolvo prima l'equazione omogenea associata $y''-5y'+6y=0$ e sino a qui non credo di avere problemi e infatti trovo come soluzione $y_0=c_1*e^(3x)+c_2*e^(2x)$ ora vado a individuarmi l'equazione particolare $y_p$ (ed è qui dove credo di avere qualche problema)

pongo $y_p=axe^x$ $=>$ $y'_p=ae^x+axe^x$ $=>$ $y''_p=2ae^x+axe^x$
e ora sostituendo cio nell'equazione di partenza mi ricavo la $a$ e ottengo
$a=-1/3+1/(2x)$ i passaggi credo siano corretti giusto ?

Quindi la ima $y_p$ è : $-(xe^x)/3+e^x/2$ risultato sbagliato in quanto quello corretto dovrebbe essere : $y_p=e^x/2$

C'è un errore.
Devi porre $y_p=ae^x$ perchè l'esponente della $e$ NON è soluzione dell'omogenea associata, quindi non ci va la $x$

2 ) $y''-y=xe^x$ svolgo anche questa come la precedente ma pongo $y_p=ax^2e^x$ (credo che il problema sia sempre qui)

Qui è sbagliato perchè le soluzioni dell'omogea sono due, e non una doppia. Quindi, essendo $1$ esponente della $e$, ci va semplicemente $y_p=axe^x$

3 ) $y''-2y'-3y=(2x-1)e^x$ stessa cosa di prima con $y_p=(ax+b)e^x$ che come ormai avete capito non ne sono sicura.

Non vi chiedo di svolgermi tutti gli esercizi ma solo di illustrarmi un metodo risolutivo, e se quello che faccio io è corretto di aiutarmi a capire come scegliere $y_p$

Bravo, qui hai scelto bene




Per riepilogare, tu hai funzioni del tipo $f(x)=P(x)e^(\alphax)$;

1. se le soluzioni dell'omogenea sono tutte diverse da $\alpha$, usi $y_p=P(x)e^(\alphax)$ dove $P(x)$ è un opportuno polinomio*
2. se una delle soluzioni dell'omogenea è pari ad $\alpha$, usi $y_p=P(x)xe^(\alphax)$ dove $P(x)$ è un opportuno polinomio*
3. se sono due le soluzioni dell'omogenea pari ad $\alpha$, usi $y_p=P(x)x^2e^(\alphax)$ dove $P(x)$ è un opportuno polinomio*
e così via



*in particolare, se hai per esempio $(3x+1)$, usi $P(x)=(ax+b)$; se hai $(2x^2-4x+3)$, usi $P(x)=(ax^2+bx+c)$; se hai $(30x^2-3)$ usi $P(x)=ax^2+bx+c$
e così via

[frenky46]

"faximusy":

2 ) $y''-y=xe^x$ svolgo anche questa come la precedente ma pongo $y_p=ax^2e^x$ (credo che il problema sia sempre qui)

Qui è sbagliato perchè le soluzioni dell'omogea sono due, e non una doppia. Quindi, essendo $1$ esponente della $e$, ci va semplicemente $y_p=axe^x$

Anche ponendo $y_p=axe^x$ ottengo $y'_p=ae^x+axe^x$ e $y''_p=2ae^x+axe^x$ e quindi $2a=x$ $=>$ $a=x/2$

e quindi ottengo $y_p=(x^2e^x)/2$

invece il risultato dovrebbe essere $y_p=(x^2-x)e^x/4$

[frenky46]

"faximusy":

Per riepilogare, tu hai funzioni del tipo $f(x)=P(x)e^(\alphax)$;

1. se le soluzioni dell'omogenea sono tutte diverse da $\alpha$, usi $y_p=P(x)e^(\alphax)$ dove $P(x)$ è un opportuno polinomio*
2. se una delle soluzioni dell'omogenea è pari ad $\alpha$, usi $y_p=P(x)xe^(\alphax)$ dove $P(x)$ è un opportuno polinomio*
3. se sono due le soluzioni dell'omogenea pari ad $\alpha$, usi $y_p=P(x)x^2e^(\alphax)$ dove $P(x)$ è un opportuno polinomio*
e così via



*in particolare, se hai per esempio $(3x+1)$, usi $P(x)=(ax+b)$; se hai $(2x^2-4x+3)$, usi $P(x)=(ax^2+bx+c)$; se hai $(30x^2-3)$ usi $P(x)=ax^2+bx+c$
e così via

Scusa ho un altro problema quando il secondo termine è trigonometrico come faccio a scegliere $y_p$ ?

Esempio : $y''+y=cosx$

[faximusy]

Ovviamente si, ho sbagliato Non avevo visto che era $xe^x$

In questo caso il polinomio $P(x)$ è di primo grado quindi deve essere: $y_p=(ax+b)xe^x$

Chiedo scusa per l'errore, ma avevo scritto un po frettolosamente


Edit: corretto

[marecko]

Sapreste risolvermi una di questo tipo :

$ y''-2y'+y= e^{x} / x $

[faximusy]

"frenky46":

Scusa ho un altro problema quando il secondo termine è trigonometrico come faccio a scegliere $y_p$ ?

Esempio : $y''+y=cosx$

In questo caso hai una funzione del tipo:

$f(x)=P(x)e^(hx)cos(kx)$

in questo caso si ragiona così:

1. se $h+-ik$ non è radice dell'equazione caratteristica hai $y_p=e^(hx)[P_1(x)sen(kx)+P_2(x)cos(kx)]$
2. se $h+-ik$ è radice di molteplicità $r$ (cioè se è presente $r$ volte), hai $y_p=x^re^(hx)[P_1(x)sen(kx)+P_2(x)cos(kx)]$

Nel tuo esempio la radice è pari ad $+-i$, che è anche pari ad $h+-kx$ che infatti nel caso del tuo polinomio è proprio $+-i$, quindi:

$y_p=xe^(0)[asen(x)+bcos(x)] = x(asen(x)+bcos(x))$

[faximusy]

"marecko":Sapreste risolvermi una di questo tipo :

y''-2y'+y= e^{x} / x

Ciao, in questo caso applica il procedimento di Lagrange, cioè quello della variazione delle costanti arbitrarie (http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_delle_variazioni_delle_costanti)


Ora devo fare un servizio, se hai problemi chiedi pure. Se non io, ci sono molte persone anche più qualificate che potranno darti una mano


Ps: per scrivere le formule in modo "fico" , vedi qui: https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

[ziomauri1]

Poni [tex]\displaystyle y=e^xu[/tex].Se vai a sostituire nell'equazione che hai proposto ,fatti tutti calcoli ,trovi [tex]\displaystyle u''=1/x[/tex] e da qui ti ricavi u con due integrazioni consecutive [tex]\displaystyle u=x(lnx-1)+Ax+B[/tex] ( A e B costanti).E quindi [tex]\displaystyle y=xe^x(lnx-1)+Axe^x+Be^x[/tex]

[faximusy]

Avendo calcolato da poco un'equazione differenziale col metodo della variazione delle costanti arbitrarie, lo espongo a titolo di esempio:

Questo metodo funziona così:

Dato l'equazione:

$y''+2y'+y=lnx/e^x$

che ha per integrale particolare:

$y=c_1e^(-x)+c_2xe^(-x)$

costruisci un sistema in questo modo: (la prima riga sono semplicemente i valori trovati, e la seconda è formata dalle loro derivate)

$\{(e^(-x)(\gamma_1)' + xe^(-x)(\gamma_2)'=0),(-e^(-x)(\gamma_1)'+(e^(-x)-xe^(-x))(\gamma_2)'=lnx/(e^x)):}$


L'obiettivo è trovare quei $\gamma$

Per semplicità rinominiamo il sistema con delle lettere che corrispondono ai valori precedenti:

$\{(a + b=e),(c+d=f):}$


Quindi, al sistema, applichiamo la regola di Cramer:

$(\gamma_1)'=(ed-bf)/(ad-bc)$

e

$(\gamma_2)'=(af-ec)/(ad-bc)$

Il risultato quindi è:

$(\gamma_1)'=\int xlnxdx -> \gamma_1= x^2lnx/2-x^2/4$

$(\gamma_2)'=\int lnxdx -> \gamma_2= xlnx-x $



Il risultato finale è:

$y=c_1e^(-x)+c_2xe^(-x) +e^(-x)(x^2lnx/2-x^2/)+xe^(-x)(xlnx-x)$


A meno di errori di calcolo, dovrebbe essere giusto