Equazione differenziale non omogenea secondo ordine
Salve a tutti, sono alle prese con la seguente equazione differenziale:
$ y''+2y=e^t*cos(2t) $
devo determinare la soluzione dell'integrale generale.
per la soluzione dell'omogenea associata non ho avuto alcun problema. Mentre mi trovo un po in difficoltà per determinare la soluzione particolare.
posto in seguito il mio svolgimento:
Cerco di ricondurmi ad una forma del tipo: $ t^n*q(t)*e^(ct) $ con q(t) polinomio di grado 0 (in questo caso).
scrivo $ e^t*cos(2t) $ come: $ e^((1+2i)*t) $ sfruttando l'identità di Eulero.
Questo perche ho scritto (non so se giustamente) $ cos(2t) $ come $ Re{e^(i2t)} $.
considero però per la risoluzione $ e^(i2t) $ e successivamente andrò a considerare solo la parte reale della soluzione.
A questo punto chiamo q(t) generica costante ''A'', e poiche ''c'' ( $ =1+2j $ ) non è una soluzione dell'equazione omogenea, ''n''=0.
Ricapitolando la mia soluzione particolare sarà: $ yp=A*e^((1+2i)*t $
quando però mi vado a calcolare il valore della costante ''A'' il risultato ce mi esce è: $ 1/(-1+4i) $ (cosa alquanto strana)
mi viene dunque il dubbio che abbia sbagliato ad utilizzare l'identità di Eulero.
Perdonate la poca chiarezza della mia domanda, spero che qualcuno possa aiutarmi
$ y''+2y=e^t*cos(2t) $
devo determinare la soluzione dell'integrale generale.
per la soluzione dell'omogenea associata non ho avuto alcun problema. Mentre mi trovo un po in difficoltà per determinare la soluzione particolare.
posto in seguito il mio svolgimento:
Cerco di ricondurmi ad una forma del tipo: $ t^n*q(t)*e^(ct) $ con q(t) polinomio di grado 0 (in questo caso).
scrivo $ e^t*cos(2t) $ come: $ e^((1+2i)*t) $ sfruttando l'identità di Eulero.
Questo perche ho scritto (non so se giustamente) $ cos(2t) $ come $ Re{e^(i2t)} $.
considero però per la risoluzione $ e^(i2t) $ e successivamente andrò a considerare solo la parte reale della soluzione.
A questo punto chiamo q(t) generica costante ''A'', e poiche ''c'' ( $ =1+2j $ ) non è una soluzione dell'equazione omogenea, ''n''=0.
Ricapitolando la mia soluzione particolare sarà: $ yp=A*e^((1+2i)*t $
quando però mi vado a calcolare il valore della costante ''A'' il risultato ce mi esce è: $ 1/(-1+4i) $ (cosa alquanto strana)
mi viene dunque il dubbio che abbia sbagliato ad utilizzare l'identità di Eulero.
Perdonate la poca chiarezza della mia domanda, spero che qualcuno possa aiutarmi
Risposte
Quindi il tuo problema è che \(\frac{1}{4i-1}\) sarebbe "alquanto strano"?
"seb":
Quindi il tuo problema è che \(\frac{1}{4i-1}\) sarebbe "alquanto strano"?
Mi scuso se rispondo soltanto ora ma ieri non sono riuscito per impegni di lavoro.
Comunque scrivo “alquanto strano” poiche risolvendo l’esercizio su un calcolatore, mi esce un risultato diverso ma ora che ci penso credo che lui scriva semplicemente il $ cos(2t) $ come $ cos^2(t) - sen^2(t) $ e calcoli la soluzione.
Se peró il procedimento ti sembra corretto penso che il mio risultato sia analogo a quello trovato sul calcolatore stesso.
Grazie mille per il tempo!
Sì, sì, la tua soluzione mi pare corretta. Tramite varie proprietà le soluzioni sono probabilmente riconducibili l'una all'altra. Prova magari a risolvere dopo aver esplicitato \(\cos{(2t)}\) come hai supposto (è infatti sufficiente la risoluzione di un'unica equazione differenziale).
Ma perché non usare direttamente il metodo di somiglianza, invece che impelagarsi in conti coi numeri complessi?
Visto che $1+2i$ non è soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, una soluzione particolare del problema è del tipo:
\[
y(x) = e^t \Big( A\cos 2t + B\sin 2t\Big)\; ,
\]
con $A,B$ costanti reali da determinare sostituendo nella EDO.
Visto che $1+2i$ non è soluzione dell'equazione caratteristica associata alla EDO, una soluzione particolare del problema è del tipo:
\[
y(x) = e^t \Big( A\cos 2t + B\sin 2t\Big)\; ,
\]
con $A,B$ costanti reali da determinare sostituendo nella EDO.
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