Equazione differenziale non omogenea del secondo ordine
Buondì 
Sto trovando difficoltà nel risolvimento di questo differenziale:
\[ \begin{cases} y''+9y=5sin(x) \\ y(0)=y(\pi) \end{cases} \]
Posto il mio procedimento (almeno fino a dove sono arrivato eheh)
Dall'omogenea associata trovo le soluzioni: $\lambda=\pm 3i$, quindi la soluzione dell'omogenea sarà $y_o(x)=c_1cos(3x)+c_2sin(3x)$.
Veniamo alla soluzione particolare: il termine noto è del tipo $p(x)cos(\alpha x)$ con $\alpha=1$ e $p(x)=5$ quindi, siccome $i \alpha$ non è soluzione del polinomio caratteristico la soluzione particolare sarà del tipo: $y_p(x)=Acos(x)+Bsin(x)$.
Calcolo la derivata seconda $y''=-Acos(x)-Bsin(x)$ e sostituisco: $-Acos(x)-Bsin(x)+9(Acos(x)+Bsin(x))=5sinx$ quindi $A=0$ e $B=\frac{5}{8}$.
Scrivendo la soluzione totale: $y(x)=y_o +y_p=c_1cos(3x)+c_2sin(3x)+\frac{5}{8}sin(x)$, impongo la condizione $y(0)=y(\pi)$ e trovo che $c_1=-c_1$ quindi $c_1=0$ ma non posso dire nulla su $c_2$? Mi servirebbe un'altra condizione?
Sto trovando difficoltà nel risolvimento di questo differenziale:
\[ \begin{cases} y''+9y=5sin(x) \\ y(0)=y(\pi) \end{cases} \]
Posto il mio procedimento (almeno fino a dove sono arrivato eheh)
Dall'omogenea associata trovo le soluzioni: $\lambda=\pm 3i$, quindi la soluzione dell'omogenea sarà $y_o(x)=c_1cos(3x)+c_2sin(3x)$.
Veniamo alla soluzione particolare: il termine noto è del tipo $p(x)cos(\alpha x)$ con $\alpha=1$ e $p(x)=5$ quindi, siccome $i \alpha$ non è soluzione del polinomio caratteristico la soluzione particolare sarà del tipo: $y_p(x)=Acos(x)+Bsin(x)$.
Calcolo la derivata seconda $y''=-Acos(x)-Bsin(x)$ e sostituisco: $-Acos(x)-Bsin(x)+9(Acos(x)+Bsin(x))=5sinx$ quindi $A=0$ e $B=\frac{5}{8}$.
Scrivendo la soluzione totale: $y(x)=y_o +y_p=c_1cos(3x)+c_2sin(3x)+\frac{5}{8}sin(x)$, impongo la condizione $y(0)=y(\pi)$ e trovo che $c_1=-c_1$ quindi $c_1=0$ ma non posso dire nulla su $c_2$? Mi servirebbe un'altra condizione?
Risposte
Ciao JimmyBrighy,
Beh, si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine, quindi per riuscire a determinare entrambe le costanti dovresti avere due condizioni, mentre $y(0) = y(\pi) $ è una sola...
A me in definitiva risulta
$y(x) = c/24 sin(3x) $
"JimmyBrighy":
Mi servirebbe un'altra condizione?
Beh, si tratta di un'equazione differenziale del secondo ordine, quindi per riuscire a determinare entrambe le costanti dovresti avere due condizioni, mentre $y(0) = y(\pi) $ è una sola...
A me in definitiva risulta
$y(x) = c/24 sin(3x) $
Okok dubbio chiarito, anche a me semplificando al massimo viene così!
Grazie (:
Grazie (:
Non è "un differenziale". É una "equazione differenziale". Sono cose diverse
Ho visto che hai modificato il titolo, grazie. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo