Equazione differenziale non omogenea con condizione al contorno con limite
Ciao a tutti,
oggi vorrei chiedervi come poter risolvere questo problema.
Mi è chiesto di trovare la soluzione Y(x) che soddisfi quanto segue:
$ y''''-16y=e^(2x) $
$ Y(1)=0 $
$ lim_(x -> -infty) Y(x)=0 $
Ho risolto senza problemi l'equazione col metodo di somiglianza, ottenendo
$ y(x)= c1e^(2 x) + c2 e^(-2x) + c3 cos(2 x) + c4 sin(2 x) + 1/32 e^(2 x) x $
Il problema viene quando devo applicare la condizione col limite.
La funzione y(x) affinché faccia 0 deve essere $ c3*cos(2x)+c4*sin(2x)=0 $ con $ xrarr -infty $ in quanto il primo termine tende a 0, come il quinto, quindi sicuramente c1=0, anche c2 deve esserlo perché altrimenti e^(-2x) esplode ad infinito e non potrebbe mai fare 0 come richiede la condizione.
Mi trovo quindi a dover calcolare $ lim_(x -> -infty) c3*cos(2x)+c4*sin(2x)=0 $ ma non esiste il limite di sin o cos all'infinito, variando tra 1 e -1, l'unico modo sarebbe avere c3 e c4 =0 ma non ha senso perché sarebbe la soluzione identicamente nulla.
Potete aiutarmi?
Grazie!!Davide
oggi vorrei chiedervi come poter risolvere questo problema.
Mi è chiesto di trovare la soluzione Y(x) che soddisfi quanto segue:
$ y''''-16y=e^(2x) $
$ Y(1)=0 $
$ lim_(x -> -infty) Y(x)=0 $
Ho risolto senza problemi l'equazione col metodo di somiglianza, ottenendo
$ y(x)= c1e^(2 x) + c2 e^(-2x) + c3 cos(2 x) + c4 sin(2 x) + 1/32 e^(2 x) x $
Il problema viene quando devo applicare la condizione col limite.
La funzione y(x) affinché faccia 0 deve essere $ c3*cos(2x)+c4*sin(2x)=0 $ con $ xrarr -infty $ in quanto il primo termine tende a 0, come il quinto, quindi sicuramente c1=0, anche c2 deve esserlo perché altrimenti e^(-2x) esplode ad infinito e non potrebbe mai fare 0 come richiede la condizione.
Mi trovo quindi a dover calcolare $ lim_(x -> -infty) c3*cos(2x)+c4*sin(2x)=0 $ ma non esiste il limite di sin o cos all'infinito, variando tra 1 e -1, l'unico modo sarebbe avere c3 e c4 =0 ma non ha senso perché sarebbe la soluzione identicamente nulla.
Potete aiutarmi?
Grazie!!Davide
Risposte
Non si comprende il motivo per cui debba essere $[c_1=0]$. Veramente:
$[c_1=-1/32 ] ^^ [c_2=c_3=c_4=0] rarr [y=1/32(x-1)e^(2x)]$
$[c_1=-1/32 ] ^^ [c_2=c_3=c_4=0] rarr [y=1/32(x-1)e^(2x)]$
Errore mio, avevo fatto una deduzione sbagliata in quanto $ e^(2x) $ tende a zero per x che tende a - infinito, quindi avevo erroneamente dedotto che c1 dovesse essere 0, ma ragionandoci logicamente non è così. Però.. Come mai il termine con 1/32 rimane? se mando x a - infinito dovrebbe tendere a zero, essendoci l'esponenziale..
Grazie
Grazie
Mi sa che ho capito... Ponendo c2, c3, c4 =0 ho già la mia funzione che tende a zero per - infinito, quindi basta mettere a sistema con l'altra condizione... Giusto?
"dfabrici":
Come mai il termine ...
Temo di non aver compreso l'obiezione. Ad ogni modo, se può aiutare:
$lim_(x->-oo)[1/32(x-1)e^(2x)]=0$
"dfabrici":
... quindi basta mettere a sistema con l'altra condizione ...
Certamente.
L'obiezione, stupida col senno di poi, era "se faccio il limite per x che tende a meno infinito, ottengo 0=0, visto che i termini in $ e^2x $ si annullano..." ma poi ho ragionato che effettivamente era esattamente ciò che volevo ottenere!
E in effetti ora che mi ci hai fatto ragionare, ho risolto tranquillamente il problema.
Grazie mille!
E in effetti ora che mi ci hai fatto ragionare, ho risolto tranquillamente il problema.
Grazie mille!
Meno male. 
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