Equazione differenziale non omogenea

[Nepenthe]

Salve a tutti, stavolta mi sono imbattuto in un'equazione differenziale lineare del secondo ordine non omogenea e mi sono bloccato poiché al secondo membro ho un seno e un coseno. L'equazione è la seguente:

$y'' + 2y' + y = -3cos(2x) - 4sen(2x)

ho intanto risolto l'omogenea associata, la cui soluzione è $y(x)=C_1 e^-x + C_2 xe^-x$

Adesso il problema sta nel trovare la soluzione particolare. Ho preso $\bar y (x)= ax^2+bx+c$

$\bar y' (x)=2ax+b
$\bar y'' (x)=2a

Poi ho sostituito le derivate all'interno dell'equazione che è diventata: $ax^2+4ax+bx+2a+2b+c=-3cos(2x)-4sen(2x)$
Fin qui penso sia giusto, no?
Adesso comparo i due membri e qui mi viene il dubbio: $-3cos(2x)-4sen(2x)$ con cosa lo devo comparare? Io ho fatto questo sistema:

$\{(ax^2=0),(4ax+bx=-3cos(2x)-4sen(2x)),(2a+2b+c=0):}$
Ma mi trascino sempre seno e coseno... La soluzione particolare che dice la dispensa è cos(2x), ma non so come ci è arrivato, magari è una banalità e non la vedo. Qualcuno mi da una mano? Grazie in anticipo!

[walter891]

se a secondo membro ci sono seni e/o coseni la soluzione particolare sarà una combinazione lineare di essi e non un polinomio
devi prendere $bary=acos(2x)+bsin(2x)$

[Nepenthe]

Sì, così riporta!
Poi ho altri tre esercizi in cui a secondo membro ho $6cos(3x)$ , $2e^(3x)$ , $e^-x$ ...Da quanto ho capito nel primo dovrei prendere $acos(3x)$, nel secondo $ae^(3x)$ e nel terzo $ae^-x$, giusto?

[walter891]

sì, tranne nel caso che ci siano problemi di coincidenza con le soluzioni del polinomio caratteristico