Equazione differenziale non omogenea

[stefano_89]

Ciao a tutti, ho un problema con una equazione differenziale, appartemente semplice.
${\(y' = cosy + 1 + t^2),(y(0) = \pi/2):}$

Ho pensato di risolvere l' omogeneo scrivendo:
$\int (dy)/cosy = \int dt$

e poi per la non omogenea, sostituire una "forma" di polinomio del tipo: $\bar y = at^2 + bt + c$

Il problema è che non riesco a trovare una primitiva di $1/cosy$
Voi cosa ne dite ?

Grazie a tutti..

[Paolo902]

"stefano_89":
Il problema è che non riesco a trovare una primitiva di $1/cosy$

Per trovare primitive di funzioni razionali di seno e coseno, il trucco standard è provare con la sostituzione $t=tan(y/2)$, alias formule parametriche.

[stefano_89]

si in effetto l' ho appena letto anche sul libro..XD
il punto è che non capisco come avvenga la sostituzione, perchè si ha che: $ y = 2arctgt$ e $dy = 2/(1 + t^2)$ e tutto ok..

Ma poi quando viene sosituito y nella funzione trigonometrica, si ottiene $cos(2arctgt)$ e secondo il libro viene $(1 - t^2)/(1 + t^2)$, ma non riesco proprio ad andarne fuori io..XD

[Paolo902]

"stefano_89":
Ma poi quando viene sosituito y nella funzione trigonometrica, si ottiene $cos(2arctgt)$ e secondo il libro viene $(1 - t^2)/(1 + t^2)$, ma non riesco proprio ad andarne fuori io..XD

Appunto, devi proprio usare le formule parametriche, che ti danno seno e coseno di $alpha$ in funzione della tangente dell'angolo $alpha/2$...

Ricordi di liceo...