Equazione differenziale non omogenea

[ferdcip]

Buongiorno a tutti,

devo risolvere il seguente problema di Cauchy con il metodo del nucleo risolvente:

$\{(y'' + 4y = sin(2x)),(y(0)=0),(y'(0)=1):}$
Io sono arrivato fino a questo punto, ma penso di aver sbagliato qualcosa...

Omogenea associata
$\lambda^2+4=0$ $\rightarrow$ $\lambda_1=2i$ , $\lambda_2=-2i$
$y=c_1 e^(2ix) + c_2 e^(-2ix)$ = $c_1 cos(2x) + c_2 sin(2x)$
$y'=-2 c_1 sin(2x) + 2 c_2 cos(2x)$

nucleo risolvente
$k(ξ,x) = frac {| (cos2ξ, sin2ξ) , (cos2x, sin2x) |} {| (cos2ξ, sin2ξ) , (-2sin2ξ, 2cos2ξ) |}$ =$frac{cos(2ξ)sin(2x)-cos(2x)sin(2ξ)} {2cos^2(2ξ)+2sin^2(2ξ) }$=$frac{cos(2ξ)sin(2x)-cos(2x)sin(2ξ)} {2}$

y(gen inom)= $\int_0^x frac{cos(2ξ)sin(2x)-cos(2x)sin(2ξ)} {2} sin(2ξ) dξ$ = $1/2 sin(2x)\int_0^x cos(2ξ)sin(2ξ) dξ-1/2cos(2x)\int_0^x sin^2(2ξ) dξ$

applico metodo sostituzione nel primo integrale e ho
$1/2 sin(2x)\int_0^x sin^2(2ξ) dξ-1/2cos(2x)\int_0^x sin^2(2ξ) dξ$ = $( 1/2 sin(2x) -1/2 cos(2x)) \int_0^x sin^2(2ξ) dξ$

ora, $\int sin^2(2ξ) dξ$ = $1/2 - cos(2ξ)/2$
è giusto o sto sbagliando qualcosa?

[dissonance]

Buh ma guarda, puoi verificare da solo il tuo risultato in un secondo. Ficca tutto nell'equazione e vedi se ritrovi una identità. Se si, è giusto. Se no, è sbagliato. E' molto più veloce che andare a caccia dell'errore (se c'è) in tutti questi conti.