Equazione differenziale non lineare e a variabili non separabili

[alez2]

Salve a tutti , sono un po' arrugginito con le equazioni differenziali, potresti darmi indicazioni per risolvere questo tipo problema di cauchy?
$y' = e^(y-2x) + 1$
$y(0) = 1$
Non è lineare e nemmeno a variabili separabili, giusto?

[gugo82]

"A occhio", proverei il cambiamento di variabile \(u(x)=y(x)-2x\)... Ti pare?

[Noisemaker]

Il problema di Cauchy assegnato è relativo ad un'equazione differenziale non linare scritta in forma normale, cioè nelle forma $y(x)=f(x;y(x))$ con secondo membro definito da
\[f(x;y): =e^{y-2x}+1;\]
la funzione $f$ è definita in tutto $\RR^2,$ di classe $C^{\infty}(\RR^2)$ pertanto lipsciziana rispetto alla seconda variabile uniformemente rispetto ad $x:$ il teorema di esistenza ed unicità della soluzione si applica e garantisce esistenza ed unicità della soluzione $y(x)$ in un intorno del punto iniziale $x_0=0.$ Operando la sostituzione
\[v(x)=y(x)-2x,\qquad v '(x)=y'(x)-2\]
il problema di Cauchy assegnato si trasforma in
\begin{align}
\begin{cases}
v '(x) =e^{v(x)}-1\\
v(0)=1
\end{cases},
\end{align}
che è diventato un problema di Cauchy relativo ad un'equazione differenziale a varibili separabili. A te i conti!