Equazione differenziale non lineare del primo ordine (Cauchy)
Trovare la soluzione se esiste del seguente problema
$ { y' ln(y+3)= (arcosx)/(y^2-16), y(1)=0 :} $
$ { y' ln(y+3)= (arcosx)/(y^2-16), y(1)=0 :} $
Risposte
Ciao. Come saprai il forum non è un risolutore di esercizi (leggi il regolamento per maggiori delucidazioni), ma è previsto un tuo tentativo di soluzione.
Inoltre questa sezione non è quella corretta; attendi pertanto che un moderatore sposti questa discussione.
Inoltre questa sezione non è quella corretta; attendi pertanto che un moderatore sposti questa discussione.
Beh, l'unica soluzione possibile si vede "ad occhio" e senza fare alcun calcolo... 
Scusate ma sono nuova.. ad occhio senza fare alcun calcolo?
io ho trasformato come sempre in
$ int (y^2-16)(ln(y+3)) dy = int arcos x dx $
ma non riesco a risolvere gli integrali
io ho trasformato come sempre in
$ int (y^2-16)(ln(y+3)) dy = int arcos x dx $
ma non riesco a risolvere gli integrali
Visto che i conti sono difficili (non impossibili, eh!), tutto lascia pensare che ci sia una soluzione immediatamente accessibile senza fare conti... Ed effettivamente così è.
Qual è la candidata-soluzione ad un problema di Cauchy, che ti viene sempre suggerita dal problema stesso?
Qual è la candidata-soluzione ad un problema di Cauchy, che ti viene sempre suggerita dal problema stesso?
non so proprio..io sono solo incappata in mille calcoli infiniti..mi scuso ma non ci arrivo 
Scusa GingerG88... Per quanto pare impossibile ho letto sempre male la EDO del tuo PdC ed ero convinto che essa avesse una soluzione stazionaria.
Ma ciò non è vero, ovviamente.
Scusa.
Anche se non è utile nel caso in esame, spiego cosa volevo dire quando parlavo di "soluzione visibile a occhio".
[ot]Per un problema di Cauchy (PdC) del tipo:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = f(x,y(x))\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
\]
la funzione costante \(y^*(x)=y_0\) è sempre una candidata da "tentare", quando si intravedono contazzi strani per risolvere esplicitamente la EDO.
Infatti, se una tale funzione è soluzione della EDO, allora essa risolve automaticamente il PdC (perché soddisfa evidentissimamente la condizione iniziale); in tal caso si parla di soluzione stazionaria del PdC.
Noto che, affinché la funzione \(y^*(x)\) sia una soluzione della EDO, è necessario e sufficiente che risulti:
\[
f(x,y^*(x))=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad f(x,y_0)=0
\]
per ogni \(x\) in un conveniente intorno di \(x_0\).[/ot]
Tornando IT, la soluzione non credo si possa esprimere con metodi elementari, anche se entrambi gli integrali che vengono fuori con la separazione delle variabili (che poi sono quelli trovati da te) sono calcolabili elementarmente, per parti.
Ma ciò non è vero, ovviamente.
Scusa.
Anche se non è utile nel caso in esame, spiego cosa volevo dire quando parlavo di "soluzione visibile a occhio".
[ot]Per un problema di Cauchy (PdC) del tipo:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = f(x,y(x))\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
\]
la funzione costante \(y^*(x)=y_0\) è sempre una candidata da "tentare", quando si intravedono contazzi strani per risolvere esplicitamente la EDO.
Infatti, se una tale funzione è soluzione della EDO, allora essa risolve automaticamente il PdC (perché soddisfa evidentissimamente la condizione iniziale); in tal caso si parla di soluzione stazionaria del PdC.
Noto che, affinché la funzione \(y^*(x)\) sia una soluzione della EDO, è necessario e sufficiente che risulti:
\[
f(x,y^*(x))=0 \qquad \Leftrightarrow \qquad f(x,y_0)=0
\]
per ogni \(x\) in un conveniente intorno di \(x_0\).[/ot]
Tornando IT, la soluzione non credo si possa esprimere con metodi elementari, anche se entrambi gli integrali che vengono fuori con la separazione delle variabili (che poi sono quelli trovati da te) sono calcolabili elementarmente, per parti.
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