Equazione differenziale non lineare
Salve a tutti sono nuovo del forum e approfitto per complimentarmi con voi 
Sono un po' arrugginito con l'analisi matematica in generale
e ho dei dubbi su come risolvere questa equazione differenziale:
$ {(dot x_1 = x_2), (dot x_2=K*sen(x_1)):}$
Ovviamente sia $ x_1 $ che $ x_2 $ sono dipendenti dal tempo e le derivate sono nel tempo, infatti queste sono equazioni dinamiche di un sistema fisico, inolte si possono assumere condizioni iniziali nulle.
In questo caso, credo che, non si possa ragionare come nel caso lineare risolvendo gli integrali con la separazione delle variabili giusto?
Ho la senzazione che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua ma se considero solo la seconda equazione e la integro nel tempo non viene qualcosa del tipo:
$ dot x_2 = K\int sen(x_1(t)) dt$
So che probabilmente è banale
ma non è nella classica forma $ \int f(g(t))*g'(t) dt$ che viene risolta ovunque per cui sono un po' confuso su come procedere.
Che ne dite, me la date una mano?
Ormai più che dubbi non ho la minima idea su come risolverlo ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Sono un po' arrugginito con l'analisi matematica in generale
e ho dei dubbi su come risolvere questa equazione differenziale:$ {(dot x_1 = x_2), (dot x_2=K*sen(x_1)):}$
Ovviamente sia $ x_1 $ che $ x_2 $ sono dipendenti dal tempo e le derivate sono nel tempo, infatti queste sono equazioni dinamiche di un sistema fisico, inolte si possono assumere condizioni iniziali nulle.
In questo caso, credo che, non si possa ragionare come nel caso lineare risolvendo gli integrali con la separazione delle variabili giusto?
Ho la senzazione che mi stia perdendo in un bicchier d'acqua ma se considero solo la seconda equazione e la integro nel tempo non viene qualcosa del tipo:
$ dot x_2 = K\int sen(x_1(t)) dt$
So che probabilmente è banale
ma non è nella classica forma $ \int f(g(t))*g'(t) dt$ che viene risolta ovunque per cui sono un po' confuso su come procedere.Che ne dite, me la date una mano?
Ormai più che dubbi non ho la minima idea su come risolverlo
Risposte
prova a derivare la prima equazione e a sostituire al posto della dervita prima di $x_2$ la sua espressione, $ksin(x_1)$ dovresti ottenere un equazione equivalente che forse sai risolvere
Se ho capito bene ottengo l'equazione $ ddot x_1 = ksin(x_1) $,
L'unica cosa che mi viene in mente è risolverlo per separazione cioè qualcosa del tipo
$ \int int ddot x_1 /sin(x_1) dt dt = k \int int dt dt$
Ora passo a quella che probabilmente è fantamatematica
:
posso scrivere qualcosa del genere?
$ \int ddot x_1 /sin(x_1) d^2t $
in tal caso potrei procedere per sostituzione definendo $y= x_1$ e quindi $ d^2y = ddot x_1*d^2t $ ?
a quel punto avrei:
$ \int cosec(y) d^2y = k(t-t_0)^2/2$
prima di andare oltre vorrei sapere devo andare subito dietro la lavagna
Se le ho sparate troppo grosse vi autorizzo a bannarmi a vita dal forum
L'unica cosa che mi viene in mente è risolverlo per separazione cioè qualcosa del tipo
$ \int int ddot x_1 /sin(x_1) dt dt = k \int int dt dt$
Ora passo a quella che probabilmente è fantamatematica
:posso scrivere qualcosa del genere?
$ \int ddot x_1 /sin(x_1) d^2t $
in tal caso potrei procedere per sostituzione definendo $y= x_1$ e quindi $ d^2y = ddot x_1*d^2t $ ?
a quel punto avrei:
$ \int cosec(y) d^2y = k(t-t_0)^2/2$
prima di andare oltre vorrei sapere devo andare subito dietro la lavagna
Se le ho sparate troppo grosse vi autorizzo a bannarmi a vita dal forum
e non saprei... perchè non mi è mai capitato un $sin(x_1)$...
ma aspetta si secondo me le variabili separabili vanno bene... ora provo
boh non riesco sorry..
almeno è coerente quello che ho detto o sono da internare
idea....... ma di quelle grosse che muori 
allora... siccome la condizione iniziale è x(0)=0 giusto? sei in un intorno locale... per cui penso che se applichi il teo di esistenza e unicità esiste unica la soluzione locale in un intorno di 0... a questo punto visto che sei intorno a 0, è lecito pensare $sin(x_1)=x_1-x^3/6+o(x^3)$??
allora... siccome la condizione iniziale è x(0)=0 giusto? sei in un intorno locale... per cui penso che se applichi il teo di esistenza e unicità esiste unica la soluzione locale in un intorno di 0... a questo punto visto che sei intorno a 0, è lecito pensare $sin(x_1)=x_1-x^3/6+o(x^3)$??
così facendo se ti fermi a dire che $sinx=x$ viene facile facile.. ma mi pare una caxxata di quelle enormi
Che ne pensi di questa?
siccome l'equazione da risolvere è:
$dot x$ = $\int sin(x(t))dt$
posso moltiplicare ambo i membri per
$dot x$
così da ottenere un Integrale indefinito immediato al secondo membro e quindi ottenere l'equazione
$dot x(t)^2$=$-cos(x(t)) $
che ne pensi?
siccome l'equazione da risolvere è:
$dot x$ = $\int sin(x(t))dt$
posso moltiplicare ambo i membri per
$dot x$
così da ottenere un Integrale indefinito immediato al secondo membro e quindi ottenere l'equazione
$dot x(t)^2$=$-cos(x(t)) $
che ne pensi?
mmmm.....mmmmmm............mmmmmmmmmmmmmmm............................... mi sa di no....
perchè è come quando hai $\inte^(x^2)$ non puoi moltiplicare e dividere per $2x$
mi sa di no....perchè è come quando hai $\inte^(x^2)$ non puoi moltiplicare e dividere per $2x$
Il sistema non si può risolvere "a mano".
Te ne puoi accorgere se pensi che l'equazione $ddot x_1=K sin x_1$ è l'equazione del pendolo che, per l'appunto, non si risolve con metodi elementari (ossia "a mano").
Sei sicuro che tu debba risolverlo?
Non ti basterebbe uno studio qualitativo, uno studio del sistema linearizzato, oppure uno studio della stabilità degli stati d'equilibrio?
Insomma, che ci devi fare con (le soluzioni di) quel sistema?
Te ne puoi accorgere se pensi che l'equazione $ddot x_1=K sin x_1$ è l'equazione del pendolo che, per l'appunto, non si risolve con metodi elementari (ossia "a mano").
Sei sicuro che tu debba risolverlo?
Non ti basterebbe uno studio qualitativo, uno studio del sistema linearizzato, oppure uno studio della stabilità degli stati d'equilibrio?
Insomma, che ci devi fare con (le soluzioni di) quel sistema?
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