Equazione differenziale non lineare

[Reyzet]

Ciao a tutti,
Dovrei risolvere questo problema di Cauchy
$y'=|y|xsinx+e^(-xcosx)cosx, y(0)=2$
Ora ho controllato che la soluzione esiste in grande ed è unica, però non riesco a risolvere per via del modulo l'equazione. Ci riesco in piccolo in un intorno dello zero, dove per permanenza del segno y è positiva, posso togliere il valore assoluto e allora è una banale equazione del primo ordine a coefficienti non costanti. C'è un modo di risolverla?

[spugna2]

Come hai giustamente osservato, la soluzione in un intorno di $0$ si ottiene risolvendo l'equazione con $y$ al posto di $|y|$. A questo punto puoi provare a prolungare la funzione che hai trovato sia a sinistra che a destra dello $0$: se tale funzione, anche quando definita su tutto $RR$, non assume mai valori negativi, chiaramente hai trovato la soluzione del problema di Cauchy iniziale; se invece incontri un punto $(a,0)$ in cui la funzione cambia segno devi fermarti a tale punto e proseguire con una soluzione dell'equazione "opposta", cioè con $-y$ al posto di $|y|$ (che troverai imponendo come condizione iniziale $y(a)=0$), dopodiché dovrai ripetere questo procedimento, cioè vedere se ci sono altri cambi di segno e nel caso effettuare nuovamente un raccordo come appena visto.

Ho provato a fare i conti con i dati che hai messo e mi è venuto questo:

$y(x)=e^(-x cos x)*(3e^(sin x)-1)$, che è sempre positiva in quanto $3e^(sin x)-1>3e^(-1)-1>0$, quindi questa funzione definita su tutto $RR$ risolve il problema.

[Reyzet]

Grazie mille intanto, l'avevo risolta ma ora non sto ricordando, comunque era una cosa simile a quella e non mi sono resto conto che fosse positiva! In ogni caso ho un paio di domande, la prima è:questo prolungamento come si fa a livello pratico? Devo semplicemente osservare fin dove è positiva e così via (anche perché potrebbe variare segno infinite volte) o c'è di mezzo qualche limite (come mi pare di aver visto in teoria)?
Per la seconda: se la condizione iniziale fosse stata $y(0)=0$ come mi sarei dovuto comportare? Non avrei potuto fare nulla cob permanenza del segno (anche se qui in realtà vedo che $y'(0)=1>0$ perciò y è crescente in zero e in un suo intorno quindi avrebbe cambiato segno e perciò penso che si potrebbe lavorare in questo modo, ma è sempre con caso particolare)