Equazione differenziale non lineare
Ciao ragazzi!
sono alle prese con questa equazione differenziale non lineare:
$ y''+(2/x)y'=-ae^y $
$ y(x=0)=y_0 $
$ y'(x=0)=0 $
(con a costante positiva)
La famiglia di soluzioni dipende da $ y_0 $, che compare nelle condizioni al contorno.
Io non riesco a risolverla e ho provato anche con il software Mathematica, ma a quanto pare non lo calcola...
Qualcuno mi darebbe una mano?
Grazie mille
sono alle prese con questa equazione differenziale non lineare:
$ y''+(2/x)y'=-ae^y $
$ y(x=0)=y_0 $
$ y'(x=0)=0 $
(con a costante positiva)
La famiglia di soluzioni dipende da $ y_0 $, che compare nelle condizioni al contorno.
Io non riesco a risolverla e ho provato anche con il software Mathematica, ma a quanto pare non lo calcola...
Qualcuno mi darebbe una mano?
Grazie mille
Risposte
"A occhio", non sembra una EDO risolubile elementarmente.
Sei sicuro di doverla risolvere esplicitamente?
Non ti basterebbe conoscere qualche proprietà qualitativa della soluzione?
Servirebbe un po' di contesto in più: riporta il testo dell'esercizio o a descrivere come viene fuori la EDO e cosa devi farci.
Sei sicuro di doverla risolvere esplicitamente?
Non ti basterebbe conoscere qualche proprietà qualitativa della soluzione?
Servirebbe un po' di contesto in più: riporta il testo dell'esercizio o a descrivere come viene fuori la EDO e cosa devi farci.
Ciao gugo82...innanzitutto grazie!
beh, in effetti ho scoperto che è risolvibile solo numericamente, il che quindi porta a un'ulteriore questione: mi servirebbe trovare un software che me la calcoli e che non sia mathematica...
in realtà io ho già il grafico della soluzione $y(x,y_0)$ per alcuni valori di $ y_0 $ (cioè una famiglia di curve al variare di $y_0$) ma il fatto è che io non devo risolvere un esercizio ma volevo verificare che il grafico fosse giusto e, in particolare, ottenere per alcune delle curve graficate dei valori precisi di alcuni loro punti...in particolare mi interessava il valore di $y(x)$ quando$ x=0$ e $ y_0 = - Inf$
PS: per essere precisi io ho il grafico della funzione $y^(3/2)$ ma questo non è un problema...
beh, in effetti ho scoperto che è risolvibile solo numericamente, il che quindi porta a un'ulteriore questione: mi servirebbe trovare un software che me la calcoli e che non sia mathematica...
in realtà io ho già il grafico della soluzione $y(x,y_0)$ per alcuni valori di $ y_0 $ (cioè una famiglia di curve al variare di $y_0$) ma il fatto è che io non devo risolvere un esercizio ma volevo verificare che il grafico fosse giusto e, in particolare, ottenere per alcune delle curve graficate dei valori precisi di alcuni loro punti...in particolare mi interessava il valore di $y(x)$ quando$ x=0$ e $ y_0 = - Inf$
PS: per essere precisi io ho il grafico della funzione $y^(3/2)$ ma questo non è un problema...
Devi fare uno studio qualitativo per verificare che gli andamenti siano giusti, oppure ti devi affidare "ciecamente" a software di comprovata efficacia.
Altri metodi non ce ne sono.
Lo studio qualitativo è complicato dal fatto che 1 l'equazione è del secondo ordine e 2 che essa non è autonoma. Insomma, non è cosa facile.
Che proprietà delle soluzioni ti interessa provare?
***
Ad esempio, si può integrare un po' la EDO e tirare fuori la concavità e la decrescenza delle soluzioni.
Qui di seguito assumo che \(a\) sia un parametro reale \(\neq 0\), anche se non è stato detto esplicitamente.
Moltiplicando m.a.m. la EDO per il fattore integrante \(x^2\), trovi:
\[
x^2\ y^{\prime \prime}(x) +2\ x\ y^\prime (x) = -a\ x^2\ e^{y(x)} \qquad \Leftrightarrow \qquad (x^2\ y^\prime (x))^\prime = -a\ x^2\ e^{y(x)}\; ,
\]
da cui, integrando sull'intervallo d'estremi \(0\) ed \(x\), trai:
\[
x^2\ y^\prime (x) = t^2\ y^\prime (t) \Big|_0^x = -a\ \int_0^x t^2\ e^{y(t)}\ \text{d} t
\]
ossia:
\[
y^\prime (x) = - \frac{a}{x^2}\ \int_0^x t^2\ e^{y(t)}\ \text{d} t\; .
\]
Dalla precedente segue che \(y^\prime (x)\leq 0\) se \(a>0\) [risp. \(y^\prime (x)\geq 0\) se \(a<0\)], sicché \(y(x)\) è decrescente [risp. crescente] e dunque regolare ai limiti del proprio intervallo massimale di definizione.
Inoltre, si ha \(y^\prime (x)\to 0\) quando \(x\to 0\); anzi, per la precisione, si ha \(y^\prime (x)\approx -\frac{ae^{y_0}}{3} x\) quando \(x\to 0\).
Nel caso \(y^\prime (x)\leq 0\) (cioé se \(a>0\)), dalla EDO discende pure che \(y^{\prime \prime}(x)<0\) per \(x\leq 0\), cosicché \(y(x)\) è concava per \(x\leq 0\).
D'altra parte, se \(a<0\) si ha \(y^{\prime \prime}(x)>0\) per \(x\leq 0\), cosicché \(y(x)\) è convessa per \(x\leq 0\).
Per \(x>0\), invece, non si può dire nulla senza un'analisi più approfondita, perché c'è sempre competizione tra i segni di \(-ae^{y(x)}\) e di \(-2/x\ y^\prime (x)\).
Questo può essere un inizio... Ora devi stabilire tu in quale direzione spingerti.
P.S.: Come nasce il problema? Questioni ingegneristiche?
Altri metodi non ce ne sono.
Lo studio qualitativo è complicato dal fatto che 1 l'equazione è del secondo ordine e 2 che essa non è autonoma. Insomma, non è cosa facile.
Che proprietà delle soluzioni ti interessa provare?
***
Ad esempio, si può integrare un po' la EDO e tirare fuori la concavità e la decrescenza delle soluzioni.
Qui di seguito assumo che \(a\) sia un parametro reale \(\neq 0\), anche se non è stato detto esplicitamente.
Moltiplicando m.a.m. la EDO per il fattore integrante \(x^2\), trovi:
\[
x^2\ y^{\prime \prime}(x) +2\ x\ y^\prime (x) = -a\ x^2\ e^{y(x)} \qquad \Leftrightarrow \qquad (x^2\ y^\prime (x))^\prime = -a\ x^2\ e^{y(x)}\; ,
\]
da cui, integrando sull'intervallo d'estremi \(0\) ed \(x\), trai:
\[
x^2\ y^\prime (x) = t^2\ y^\prime (t) \Big|_0^x = -a\ \int_0^x t^2\ e^{y(t)}\ \text{d} t
\]
ossia:
\[
y^\prime (x) = - \frac{a}{x^2}\ \int_0^x t^2\ e^{y(t)}\ \text{d} t\; .
\]
Dalla precedente segue che \(y^\prime (x)\leq 0\) se \(a>0\) [risp. \(y^\prime (x)\geq 0\) se \(a<0\)], sicché \(y(x)\) è decrescente [risp. crescente] e dunque regolare ai limiti del proprio intervallo massimale di definizione.
Inoltre, si ha \(y^\prime (x)\to 0\) quando \(x\to 0\); anzi, per la precisione, si ha \(y^\prime (x)\approx -\frac{ae^{y_0}}{3} x\) quando \(x\to 0\).
Nel caso \(y^\prime (x)\leq 0\) (cioé se \(a>0\)), dalla EDO discende pure che \(y^{\prime \prime}(x)<0\) per \(x\leq 0\), cosicché \(y(x)\) è concava per \(x\leq 0\).
D'altra parte, se \(a<0\) si ha \(y^{\prime \prime}(x)>0\) per \(x\leq 0\), cosicché \(y(x)\) è convessa per \(x\leq 0\).
Per \(x>0\), invece, non si può dire nulla senza un'analisi più approfondita, perché c'è sempre competizione tra i segni di \(-ae^{y(x)}\) e di \(-2/x\ y^\prime (x)\).
Questo può essere un inizio... Ora devi stabilire tu in quale direzione spingerti.
P.S.: Come nasce il problema? Questioni ingegneristiche?
A me interessava tutto quanto possa farmi calcolare la soluzione in $x=0$ quando $y_0 $ assume alcuni particolari e rappresentativi valori (25, 15, 5, 0, -5) .
Nel limite di $y_0 = + Inf $ arrivo al mio scopo e anche ad un'analisi qualitativa perchè l'equazione si trasforma in un'altra, collegata alla precedente, ma risolvibile:
$z''+(2/x)z'=−z^(3/2)$
$z(x=0)=1$
$z'(x=0)=0 $
dove per definizione $z=(y(x))/y_0$
Ora, io ho controllato che esca fuori effettivamente questo nuovo sistema e tutto mi torna.
Inoltre, Mathematica stavolta mi calcola l'equazione e da come soluzione la funzione:
$ z = 1 - (4/63) x^(7/2) $
(anche qui, svolgendo le derivate prima e seconda, la sostituzione della soluzione proposta nell'equazione data mi fornisce una identità, e lo stesso vale per le condizioni al contorno; dunque, la soluzione fornita da mathematica è sicuramente valida)
A questo punto posso avviare il confronto col grafico della soluzione e il mio grafico (generato anche questo grazie a mathematica); ancora una volta il grafico non è un grafico di z ma di $z^(3/2)$ (e per essere precisi a me interessa solo il quadrante z positivo o nullo).
Ecco che arriva il primo risultato:
entrambi i grafici presentano una funzione che da (0,1) decresce fino a intersecare l'asse x in un punto che a me risulta essere circa (2.2,0) e nel loro grafico sembra essere circa lo stesso.
( Dico circa perchè loro graficano l'asse x in scala logaritmica (in base 10) e l'intersezione avviene in un punto tra 2/8 e 3/8:
ossia tra $10^(2/8)=1.8$ e $10^(3/8)=2.4$. )
A questo punto, dato questo risultato, che riguarda un caso particolare, mi chiedevo se e come potrei sfruttarlo per avere info sulle altre curve graficate...
l'andamento è lo stesso che nel caso particolare di cui sopra, quindi, direi che è ragionevole il loro grafico anche per altri valori di $y_0$.
Risolto (secondo il mio punto di vista) il problema qualitativo dell'andamento della soluzione, il mio dilemma resta: come calcolare i valori della funzione nel punto di intersezione con l'asse x al variare di $y_0$ ?
Dici che l'unica soluzione sarebbe trovare un benedetto software che mi risolva l'equazione generale?
Grazie di nuovo e scusami se sono stato prolisso!!!
Nel limite di $y_0 = + Inf $ arrivo al mio scopo e anche ad un'analisi qualitativa perchè l'equazione si trasforma in un'altra, collegata alla precedente, ma risolvibile:
$z''+(2/x)z'=−z^(3/2)$
$z(x=0)=1$
$z'(x=0)=0 $
dove per definizione $z=(y(x))/y_0$
Ora, io ho controllato che esca fuori effettivamente questo nuovo sistema e tutto mi torna.
Inoltre, Mathematica stavolta mi calcola l'equazione e da come soluzione la funzione:
$ z = 1 - (4/63) x^(7/2) $
(anche qui, svolgendo le derivate prima e seconda, la sostituzione della soluzione proposta nell'equazione data mi fornisce una identità, e lo stesso vale per le condizioni al contorno; dunque, la soluzione fornita da mathematica è sicuramente valida)
A questo punto posso avviare il confronto col grafico della soluzione e il mio grafico (generato anche questo grazie a mathematica); ancora una volta il grafico non è un grafico di z ma di $z^(3/2)$ (e per essere precisi a me interessa solo il quadrante z positivo o nullo).
Ecco che arriva il primo risultato:
entrambi i grafici presentano una funzione che da (0,1) decresce fino a intersecare l'asse x in un punto che a me risulta essere circa (2.2,0) e nel loro grafico sembra essere circa lo stesso.
( Dico circa perchè loro graficano l'asse x in scala logaritmica (in base 10) e l'intersezione avviene in un punto tra 2/8 e 3/8:
ossia tra $10^(2/8)=1.8$ e $10^(3/8)=2.4$. )
A questo punto, dato questo risultato, che riguarda un caso particolare, mi chiedevo se e come potrei sfruttarlo per avere info sulle altre curve graficate...
l'andamento è lo stesso che nel caso particolare di cui sopra, quindi, direi che è ragionevole il loro grafico anche per altri valori di $y_0$.
Risolto (secondo il mio punto di vista) il problema qualitativo dell'andamento della soluzione, il mio dilemma resta: come calcolare i valori della funzione nel punto di intersezione con l'asse x al variare di $y_0$ ?
Dici che l'unica soluzione sarebbe trovare un benedetto software che mi risolva l'equazione generale?
Grazie di nuovo e scusami se sono stato prolisso!!!
Sinceramente, non riesco a capire come un termine del tipo \(e^{y}\) possa trasformarsi in una potenza mediante un riscalamento della variabile.
Hai fatto un'analisi asintotica?
Che articolo stai leggendo?
P.S.: Ho modificato un po' il mio post precedente... Ma forse ho detto cose che già sapevi.
Hai fatto un'analisi asintotica?
Che articolo stai leggendo?
P.S.: Ho modificato un po' il mio post precedente... Ma forse ho detto cose che già sapevi.
Scusami, ho letto solo ora l'altra metà del tuo messaggio precedente e devo dire che, anche dal quel che ho scritto, direi che siamo daccordo! (un ulteriore grazie) 
a è sempre positiva e non nula: la funzione è decrescente, con concavità verso il basso; inoltre parte dal punto (0,1) per finire sull'asse x nel punto (k,0), che è l'ultimo punto che mi interessa volendo solo studiare il dominio in cui la funzione è positiva o nulla.
Di nuovo il dilemma: come calcolare k per vari valori di $y_0$?
PS: la faccenda è una questione astrofisica
a è sempre positiva e non nula: la funzione è decrescente, con concavità verso il basso; inoltre parte dal punto (0,1) per finire sull'asse x nel punto (k,0), che è l'ultimo punto che mi interessa volendo solo studiare il dominio in cui la funzione è positiva o nulla.
Di nuovo il dilemma: come calcolare k per vari valori di $y_0$?
PS: la faccenda è una questione astrofisica
Il fatto è che il secondo membro dell'equazione differenziale generale è una funzione più complessa (per la precisione, è il rapporto tra due diversi integrali di una stessa funzione più complessa) che , nel caso di mio interesse, si trasforma in un esponenziale, ma, nel caso particolare che ho descritto (cioè per $y_0 = + Inf$), si trasforma in una potenza...
Espansione radiale di qualcosa?
Effettivamente, il primo termine è un laplaciano radiale...
Quindi ti servono le soluzioni radiali positive di una PDE tipo Poisson nonlineare, \(-\Delta u = a\ e^{u}\), scommetto.
La concavità/convessità per \(x\geq 0\) è una faccenda un po' delicata, in realtà. Quindi vacci coi piedi di piombo.
Per il computo approssimato della soluzione, ricorda che dalla equazione per \(y^\prime\) segue la rappresentazione integrale:
\[
y(x) = y_0 - a\ \int_0^x \frac{1}{t^2}\ \left( \int_0^t \tau^2\ \exp (y(\tau))\ \text{d} \tau \right)\ \text{d} t
\]
che potresti provare ad usare al calcolatore con un procedimento iterativo di qualche specie, se non ti va di usare la EDO.
Per il resto, parlane col tuo advisor.
Effettivamente, il primo termine è un laplaciano radiale...
Quindi ti servono le soluzioni radiali positive di una PDE tipo Poisson nonlineare, \(-\Delta u = a\ e^{u}\), scommetto.
La concavità/convessità per \(x\geq 0\) è una faccenda un po' delicata, in realtà. Quindi vacci coi piedi di piombo.
Per il computo approssimato della soluzione, ricorda che dalla equazione per \(y^\prime\) segue la rappresentazione integrale:
\[
y(x) = y_0 - a\ \int_0^x \frac{1}{t^2}\ \left( \int_0^t \tau^2\ \exp (y(\tau))\ \text{d} \tau \right)\ \text{d} t
\]
che potresti provare ad usare al calcolatore con un procedimento iterativo di qualche specie, se non ti va di usare la EDO.
Per il resto, parlane col tuo advisor.
Ciao gugo82
Il calcolo approssimativo funzione abbastanza bene in effetti e per ora va bene così!
grazie di tutto, seguirò i tuoi consigli/raccomandazioni!
Il calcolo approssimativo funzione abbastanza bene in effetti e per ora va bene così!
grazie di tutto, seguirò i tuoi consigli/raccomandazioni!
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