Equazione differenziale molto semplice (credo)

[dario910]

salve, avrei bisogno di una mano con questa equazione differenziale, non capisco il passaggio del professore:
l'equazione è questa:

$ \ddot{s}= (-\mu /R) (\dot{s})\wedge2 $
devo trovare la funzione s(t)
se capisco come allegare una foto, lo farò
grazie
http://it.tinypic.com/r/29xd94k/9

[HaldoSax]

Ciao Dario9
Partiamo da:

\begin{equation}
\ddot{s}=-\frac{\mu}{R}\dot{s}^2
\end{equation}

$\ddot{s}=\frac{d^2 s}{dt^2}$, sostituiamo $\frac{ds}{dt}=u(t)$ quindi:

\begin{equation}
\frac{du}{dt}=-\frac{\mu}{R}u^2
\end{equation}

Separando le variabili si ha:

\begin{equation}
\frac{du}{u^2}=-\frac{\mu}{R}dt
\end{equation}

Ora integri da ambo le parti:

\begin{equation}
\frac{1}{u}-\frac{1}{v_0}=\frac{\mu}{R}t \rightarrow u(t)=\frac{Rv_0}{v_0t\mu+R}
\end{equation}

Ma $\frac{ds}{dt}=u(t)$, quindi:

\begin{equation}
u(t)=\frac{ds}{dt}=\frac{Rv_0}{v_0t\mu+R}
\end{equation}
Separi nuovamente le variabili:
\begin{equation}
ds=\frac{Rv_0dt}{v_0t\mu+R}
\end{equation}

Integri:
\begin{equation}
s(t)=\frac{R}{\mu}\ln(v_0t\mu+R)
\end{equation}

Se hai dubbi chiedi pure

[dario910]

seiiiii unn graandeee
grazie grazie grazieeeee
fra poco posto l'altro quesito, sempre su un integrale,
siete la mia salvezza,
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