Equazione differenziale, mi spiegate come funziona?

[unit1]

Salve,

Ho un esercizio del prof con anche le correzioni ma non riesco a capirci nulla.

-Risolvere, con il metodo della variazione delle costanti arbitrarie, la seguente equazione differenziale:

$y'=y frac{cos x + 2}{sin x + 2x + 3}+(9x^8)*(sin x+2x+3)$

(supponendo $x>0$ e $y>0$)

Soluzione:
Si tratta di un equazione differenziale di primo ordine.
Per prima cosa dobbiamo studiare l'equazione omogenea associata:

$y'=y frac{cos x + 2}{sin x + 2x + 3}$

Ora dobbiamo separare le variabili di y', ma si può far sempre? e poi non capisco i passaggi che fà lui:

$frac{dy}{dx}=y frac{cos x + 2}{sin x + 2x + 3}=>frac{dy}{y}=frac{cos x + 2}{sin x + 2x + 3}dx$

Come ha passato la x dall'altra parte e dove è finita la y?

Grazie in anticipo,

[gugo82]

Innanzitutto, quando classifichi l'equazione ricorda sempre di dire che essa è lineare, altrimenti non ha senso andare a studiare prima l'omogenea associata.

Poi, per il metodo di separazione delle variabili puoi sempre consultare questo agile fascicolo di Fioravante.

[unit1]

Grazie, studio e ti faccio sapere