Equazione Differenziale (metodo coeff. indeterminati)

[John_Doggett]

Data la seguente eqz differenziale

$y''-4y=x*sen(2x)$

Questa penso che si risolva col metodo dei coefficienti indeterminati... penso!
Il fatto è che quella $x$ davanti al $sen$ mi sballa un po... come devo procedere?

[irenze]

facile!
$x*sen(2x)$ sta nel ker dell'operatore $(D^2+2I)^2$ (invece di $(D^2+2I)$) e quindi tutto quello che devi fare è cercare la soluzione particolare come combinazione lineare degli elementi della base di $(D^2+2I)^2$, cioè nella forma $c_1*sin(2x)+c_2*cos(2x)+c_3*x*sin(2x)+c_4*x*cos(2x)$.

vedi anche qui

[John_Doggett]

Grazie! Ma si potrebbe risolvere con il metodo dei coeff. indeterminati?

[irenze]

intendi la variazione delle costanti? certo, ma non te lo consiglio.
e poi, in quel caso, che ti importa della x?!?

[John_Doggett]

Si scusa, intendo quello. Devo usarlo perchè il metodo degli annichilatori non lo abbiamo ancora fatto.
La $x$ mi scombussola un po perchè nella formula generale $q(x)=Asen beta x+Bcos beta x$ non capisco come devo usarla, visto che prima del seno e del coseno ci sono 2 coefficienti e non le variabili $x$...

[Sk_Anonymous]

Mi pare che nella risoluzione dell'equazione omogenea associata ci sia un errore .
In effetti l'equazione caratteristica (per stare a quanto John_Doggett dice di conoscere) e'
$lambda ^2-4=0$ da cui le soluzioni $lambda=+-2$
Pertanto la soluzione temporanea e' :
(1) $y=Ae^(-2x)+Be^(2x)$ con A e B funzioni da determinare,
Il calcolo di tali funzioni si trae dal sistema:
${(A'e^( -2x)+B'e^(2x)=0),(-2A'e^(-2x)+2B' e^(2x)=xsin2x):}$
da cui si ricava che :
${(A'=-1/4xe^(2x)sin2x),(B'=1/4xe^(-2x)sin2x):}$
Integrando e sostituendo in (1) si ha la soluzione generale.
karl