Equazione differenziale mediante trasformata di Laplace
Ciao a tutti,
ho un esercizio che dice di risolvere mediante la trasformata di Laplace l'equazione differenziale $y'' + y = cos(x)$ con $y(0) = 0$ e $y'(0) = 2$. Wolphram alpha e la Ti89 concordano sul risultato $1/2 (x+4) sin(x)$, ma non riesco ad avvicinarmici manco alla lontana, ne usando la semplice trasformata del coseno, ne trasformando $cos(x) = e^(ix)/2 + e^(-ix)/2$ (come per altro anche wolfram alpha dice). In quest'ultimo caso ottengo $L(y) = (2s^2 + s + 2)/(s (s + i) (s - i) (s + 1))$, ma calcolando poi i residui e antitrasformando viene tutt'altro risultato... Qualche dritta? Grazie
ho un esercizio che dice di risolvere mediante la trasformata di Laplace l'equazione differenziale $y'' + y = cos(x)$ con $y(0) = 0$ e $y'(0) = 2$. Wolphram alpha e la Ti89 concordano sul risultato $1/2 (x+4) sin(x)$, ma non riesco ad avvicinarmici manco alla lontana, ne usando la semplice trasformata del coseno, ne trasformando $cos(x) = e^(ix)/2 + e^(-ix)/2$ (come per altro anche wolfram alpha dice). In quest'ultimo caso ottengo $L(y) = (2s^2 + s + 2)/(s (s + i) (s - i) (s + 1))$, ma calcolando poi i residui e antitrasformando viene tutt'altro risultato... Qualche dritta? Grazie
Risposte
Ti ricordo che [tex]\mathcal{L}\{\cos(x)\}(s)=\frac{s}{1+s^2}[/tex].
Ora, trasformando [tex]y''(x)[/tex] e [tex]y(x)[/tex] e applicando le condizioni in [tex]x=0[/tex] dovresti essere sulla buona strada.
Ora, trasformando [tex]y''(x)[/tex] e [tex]y(x)[/tex] e applicando le condizioni in [tex]x=0[/tex] dovresti essere sulla buona strada.
Tra l'altro:
[tex]$\mathcal{L}[y^{\prime \prime} +y] = (s^2+1)\ Y-s\ y(0)-y^\prime (0)$[/tex]
quindi non vedo come la funzione di trasferimento possa fattorizzarsi nel modo che vedo scritto nel tuo post.
[tex]$\mathcal{L}[y^{\prime \prime} +y] = (s^2+1)\ Y-s\ y(0)-y^\prime (0)$[/tex]
quindi non vedo come la funzione di trasferimento possa fattorizzarsi nel modo che vedo scritto nel tuo post.
A meno di errori di calcolo se rappresenti il coseno con i due esponenziali e trasformi così viene... ma l'errore è proprio li, comunque.
Emmm... "Laplacizzando" ambo i membri dell'equazione ottieni:
[tex]$(s^2+1)\ Y-2=\frac{s}{s^2+1}$[/tex]
ossia:
[tex]$Y=\frac{1}{s^2+1}\ \left[ \frac{s}{s^2+1} +2\right]$[/tex].
Quindi al massimo il denominatore comune, cioè [tex]$(s^2+1)^2$[/tex], si fattorizza [tex]$(s+\jmath)^2\ (s-\jmath)^2$[/tex].
Ora puoi procedere in due modi.
O ti metti a fare tutti i contazzi di questo mondo per scomporre il secondo membro ed usare le trasformate notevoli.
O usi il teorema della convoluzione applicandolo al calcolo dell'antitrasformata del solo addendo [tex]$\frac{1}{s^2+1}\ \frac{s}{s^2+1}$[/tex] (perchè l'antitrasformata di [tex]$\frac{2}{s^2+1}$[/tex] è notissima).
A te la scelta.
Ad ogni modo, il risultato del libro è corretto.
[tex]$(s^2+1)\ Y-2=\frac{s}{s^2+1}$[/tex]
ossia:
[tex]$Y=\frac{1}{s^2+1}\ \left[ \frac{s}{s^2+1} +2\right]$[/tex].
Quindi al massimo il denominatore comune, cioè [tex]$(s^2+1)^2$[/tex], si fattorizza [tex]$(s+\jmath)^2\ (s-\jmath)^2$[/tex].
Ora puoi procedere in due modi.
O ti metti a fare tutti i contazzi di questo mondo per scomporre il secondo membro ed usare le trasformate notevoli.
O usi il teorema della convoluzione applicandolo al calcolo dell'antitrasformata del solo addendo [tex]$\frac{1}{s^2+1}\ \frac{s}{s^2+1}$[/tex] (perchè l'antitrasformata di [tex]$\frac{2}{s^2+1}$[/tex] è notissima).
A te la scelta.
Ad ogni modo, il risultato del libro è corretto.
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