Equazione Differenziale Massimo o minimo in x=0 ?
Una soluzione di y"= 2y(derivato una volta) + e^x^2 tale che y(0) = 1 e y(derivato una volta )(0)=0
A: ha un punto di minimo in x = 0; B: non esiste; C: N.A. ;
D: esiste ma non `e unica; E: ha un punto di massimo in x = 0.
Non so come fare ha verificare se una soluzione è un Minimo (come da la soluzione) ...
Provo già difficoltà a trovare l'integrale particolare g(x) essendoci e^x^2 ...pertanto non riesco a capire come posso procedere...
mi volete aiutare grazie.
Roberto.
A: ha un punto di minimo in x = 0; B: non esiste; C: N.A. ;
D: esiste ma non `e unica; E: ha un punto di massimo in x = 0.
Non so come fare ha verificare se una soluzione è un Minimo (come da la soluzione) ...
Provo già difficoltà a trovare l'integrale particolare g(x) essendoci e^x^2 ...pertanto non riesco a capire come posso procedere...
mi volete aiutare grazie.
Roberto.
Risposte
Se tu consideri le condizioni per il dato iniziale $vec{y_0}=[1,0]$, allora vedi che $y''(0)=e^2 >0$, per cui hai tangente verticale per $x=0$, ma la funzione, localmente, è convessa. Quindi evidentemente non può essere un punto di massimo, visto che la funzione "appena si sposta da $x=0$ cresce".
Cercare l'integrale particolare non ha molto senso, e vista la presenza di quel $e^{x^2}$ l'esperienza suggerisce che non è la strada migliore da seguire.
Peraltro questo è anche confermato "numericamente", usando il metodo dei trapezi applicato all'equazione del prim'ordine
con $ A=[ ( 0 , 1 ),( 2 , 0 ) ] $
Cercare l'integrale particolare non ha molto senso, e vista la presenza di quel $e^{x^2}$ l'esperienza suggerisce che non è la strada migliore da seguire.
Peraltro questo è anche confermato "numericamente", usando il metodo dei trapezi applicato all'equazione del prim'ordine
$ vec y'=Ay(x) + [0,b(x)]^T $
con $ A=[ ( 0 , 1 ),( 2 , 0 ) ] $
Ciao Roberto Antonelli,
Ferma restando la correttezza della risposta che ti ha già dato feddy, ti confesso che la cosa che più mi ha colpito del tuo post è che dopo 326 messaggi tu non riesca a scrivere una cosa così banale come la seguente:
$ y'' = 2 y' + e^{x^2} $
Anzi, mi sarei aspettato perfino qualcosa del tipo
$ \{(y'' = 2y' + e^{x^2} ),(y(0) = 1),(y'(0) = 0):} $
Ciò detto non è neanche impossibile trovare la soluzione esplicita, anche se in effetti vengono coinvolte funzioni non elementari come la funzione errore immaginaria $erfi(x) $. L'equazione differenziale ordinaria proposta è del secondo ordine, ma può essere ricondotta ad un'equazione differenziale del primo ordine semplicemente ponendo $t(x) := y'(x) $:
$t' = 2t + e^{x^2} $
la cui soluzione è la seguente:
$t(x) = y'(x) = c_1 e^{2x} - frac{sqrt{\pi}}{2} e^{2x - 1} erfi(1 - x) $
ove $ erfi(x) := - i \cdot erf(ix) $ e $ erf(z) := frac{2}{sqrt{\pi}} int_0^z e^{-u^2} du $
La costante $c_1 $ si trova subito dalla condizione $t(0) = y'(0) = 0 $:
$ 0 = c_1 - frac{sqrt{\pi}}{2e} erfi(1) \implies c_1 = frac{sqrt{\pi}}{2e} erfi(1) $
Quindi si ha:
$t(x) = y'(x) = frac{sqrt{\pi}}{2} e^{2x - 1} [erfi(1) - erfi(1 - x)] $
Integrando quest'ultima, ricordando che $int erfi(s) ds = s \cdot erfi(s) - frac{1}{sqrt{\pi}} e^{s^2} + c $, si ha:
$ y(x) = frac{1}{2} \cdot frac{sqrt{\pi}}{2e} erfi(1) e^{2x} - frac{sqrt{\pi}}{4} e^{2x - 1} erfi(1 - x) - frac{sqrt{\pi}}{4} erfi(x) + c_2 = $
$ = frac{sqrt{\pi}}{4} \{e^{2x - 1} [erfi(1) - erfi(1 - x)] - erfi(x) \} + c_2 $
Dalla condizione $y(0) = 1 $ poi si ricava $c_2 $:
$ 1 = y(0) = frac{sqrt{\pi}}{4} \{e^{- 1} [erfi(1) - erfi(1)] - erfi(0) \} + c_2 \implies c_2 = 1 $
In definitiva la soluzione del problema proposto è la seguente:
$y(x) = frac{sqrt{\pi}}{4} \{e^{2x - 1} [erfi(1) - erfi(1 - x)] - erfi(x) \} + 1 $
Se ne può vedere il grafico su WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=real+plot+(sqrt(%5Cpi))%2F4+(e%5E%7B2x+-+1%7D+%5Berfi(1)+-+erfi(1+-+x)%5D+-+erfi(x))+%2B+1
Ferma restando la correttezza della risposta che ti ha già dato feddy, ti confesso che la cosa che più mi ha colpito del tuo post è che dopo 326 messaggi tu non riesca a scrivere una cosa così banale come la seguente:
$ y'' = 2 y' + e^{x^2} $
$ y'' = 2 y' + e^{x^2} $Anzi, mi sarei aspettato perfino qualcosa del tipo
$ \{(y'' = 2y' + e^{x^2} ),(y(0) = 1),(y'(0) = 0):} $
$ \{(y'' = 2y' + e^{x^2} ),(y(0) = 1),(y'(0) = 0):} $Ciò detto non è neanche impossibile trovare la soluzione esplicita, anche se in effetti vengono coinvolte funzioni non elementari come la funzione errore immaginaria $erfi(x) $. L'equazione differenziale ordinaria proposta è del secondo ordine, ma può essere ricondotta ad un'equazione differenziale del primo ordine semplicemente ponendo $t(x) := y'(x) $:
$t' = 2t + e^{x^2} $
la cui soluzione è la seguente:
$t(x) = y'(x) = c_1 e^{2x} - frac{sqrt{\pi}}{2} e^{2x - 1} erfi(1 - x) $
ove $ erfi(x) := - i \cdot erf(ix) $ e $ erf(z) := frac{2}{sqrt{\pi}} int_0^z e^{-u^2} du $
La costante $c_1 $ si trova subito dalla condizione $t(0) = y'(0) = 0 $:
$ 0 = c_1 - frac{sqrt{\pi}}{2e} erfi(1) \implies c_1 = frac{sqrt{\pi}}{2e} erfi(1) $
Quindi si ha:
$t(x) = y'(x) = frac{sqrt{\pi}}{2} e^{2x - 1} [erfi(1) - erfi(1 - x)] $
Integrando quest'ultima, ricordando che $int erfi(s) ds = s \cdot erfi(s) - frac{1}{sqrt{\pi}} e^{s^2} + c $, si ha:
$ y(x) = frac{1}{2} \cdot frac{sqrt{\pi}}{2e} erfi(1) e^{2x} - frac{sqrt{\pi}}{4} e^{2x - 1} erfi(1 - x) - frac{sqrt{\pi}}{4} erfi(x) + c_2 = $
$ = frac{sqrt{\pi}}{4} \{e^{2x - 1} [erfi(1) - erfi(1 - x)] - erfi(x) \} + c_2 $
Dalla condizione $y(0) = 1 $ poi si ricava $c_2 $:
$ 1 = y(0) = frac{sqrt{\pi}}{4} \{e^{- 1} [erfi(1) - erfi(1)] - erfi(0) \} + c_2 \implies c_2 = 1 $
In definitiva la soluzione del problema proposto è la seguente:
$y(x) = frac{sqrt{\pi}}{4} \{e^{2x - 1} [erfi(1) - erfi(1 - x)] - erfi(x) \} + 1 $
Se ne può vedere il grafico su WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=real+plot+(sqrt(%5Cpi))%2F4+(e%5E%7B2x+-+1%7D+%5Berfi(1)+-+erfi(1+-+x)%5D+-+erfi(x))+%2B+1
Vi ringrazio delle Vs. risposte esaurienti e complete.
Mi scuso inoltre per la mia ignoranza nello scrivere le formule....penso fosse più di un anno che non postavo e comunque non ho mai fatto mie la guida e le istruzioni per scrivere correttamente .
Mi scuso ancora.
Roberto Antonelli.
Mi scuso inoltre per la mia ignoranza nello scrivere le formule....penso fosse più di un anno che non postavo e comunque non ho mai fatto mie la guida e le istruzioni per scrivere correttamente .
Mi scuso ancora.
Roberto Antonelli.
"ANTONELLI ":
Vi ringrazio delle Vs. risposte esaurienti e complete.
Prego
"ANTONELLI ":
non ho mai fatto mie la guida e le istruzioni per scrivere correttamente.
Non è poi così difficile: se hai un po' di tempo, prova a modificare il tuo OP scrivendo al posto di ciò che hai scritto ciò che ti ho scritto nel mio post all'interno del box "CODICE:" e vedrai che magicamente...
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