Equazione differenziale lineare secondo ordine no omogenea
Ciao a tutti, ho difficolta a calcolare la soluzione particolare dell'equazione differenziale y''+4y=cosx+senx. Usando il metodo della variazione delle variabili mi perdo in un'infinita di calcoli nel sistema, qualcuno potrebbe aiutarmi magari facendomi vedere lo svolgimento? grazie
Risposte
ti riporto un metodo speciale :
una soluzione è del tipo $y=acosx+bsenx$
$a$ e $b$ li determini imponendo che $y$ sia una soluzione dell'equazione differnziale
una soluzione è del tipo $y=acosx+bsenx$
$a$ e $b$ li determini imponendo che $y$ sia una soluzione dell'equazione differnziale
Hai mai sentito parlare del metodo di somiglianza e il principio di sovrapposizione.
In più aggiungi il principio di sovrapposizione che dice:
Data l'equazione $x''+bx'+cx=h_1(t)+h_2(t)$ una soluzione particolare è data dalla somma delle soluzioni particolari delle due equazioni:
$$x''+bx'+cx=h_1(t)$$
$$x''+bx'+cx=h_2(t)$$
Si consideri l'equazione
$$x''+bx'+cx=h(t)\ (*)$$
Con
$$h(t)=P_m(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t)$$ oppure $$h(t)=P_m(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t)$$
Con $\alpha,\beta \in RR$ e $P_m$ un polinomio di grado $m$.
(i) se $\lambda=\alpha+i\beta$ non è radice del polinomio caratteristico, allora una soluzione particolare di (*) è della forma:
$$w(t)=[Q_m(t)\cos(\beta t)+R_m(t)\sin(\beta t)]e^{\alpha t}$$
(ii) se $\lambda=\alpha+i\beta$ è radice del polinomio caratteristico con molteplicità $k$, allora una soluzione particolare di (*) è della forma:
$$w(t)=t^k[Q_m(t)\cos(\beta t)+R_m(t)\sin(\beta t)]e^{\alpha t}$$
Con $Q_m,R_m$ opportuni polinomi di grado $m$[nota]ti calcoli i coefficienti semplicemente andando a risostituire in (*) e mettendo a sistema[/nota]
In più aggiungi il principio di sovrapposizione che dice:
Data l'equazione $x''+bx'+cx=h_1(t)+h_2(t)$ una soluzione particolare è data dalla somma delle soluzioni particolari delle due equazioni:
$$x''+bx'+cx=h_1(t)$$
$$x''+bx'+cx=h_2(t)$$
Ok ci sono quasi, ora non capisco come determinare i polinomi Qm ed Rm.
Trovato $w(t)$ ? Perfetto non fa nulla se non sai per il momento i polinomi $Q_0$ e $R_0$ che sono costanti.[nota]ricorda che $m=0$, basta che vedi il grado di $P_0$[/nota]
OK perfetto prendiamo $w(t)$ facciamo derivata prima e seconda le sostituiamo tutte e tre nell'equazione (*) e ci viene come giusto che sia:
$$w"(t)+4w(t)=\cos(t)+\sin(t)$$
Per far sì che membro destro e membro sinistro siano uguali dovrai fare un sistema in modo che tutti i coefficienti del membro destro che moltiplicano il coseno sommati ti vengano 1(praticamente raccogli a fattor comune il coseno) così come per il seno.
Se non ti è ancora chiaro pubblica ciò che hai fatto fino ad adesso o per lo meno scrivi come ti viene $w(t)$.
OK perfetto prendiamo $w(t)$ facciamo derivata prima e seconda le sostituiamo tutte e tre nell'equazione (*) e ci viene come giusto che sia:
$$w"(t)+4w(t)=\cos(t)+\sin(t)$$
Per far sì che membro destro e membro sinistro siano uguali dovrai fare un sistema in modo che tutti i coefficienti del membro destro che moltiplicano il coseno sommati ti vengano 1(praticamente raccogli a fattor comune il coseno) così come per il seno.
Se non ti è ancora chiaro pubblica ciò che hai fatto fino ad adesso o per lo meno scrivi come ti viene $w(t)$.
@quantunquemente
Non sempre gli potranno capitare casi semplici come questo, per questo l'idea mia era quella di fornirgli un metodo generale con il quale affrontare problemi simili, considerando che anch'io come lui sto affrontando questi argomenti.
Non sempre gli potranno capitare casi semplici come questo, per questo l'idea mia era quella di fornirgli un metodo generale con il quale affrontare problemi simili, considerando che anch'io come lui sto affrontando questi argomenti.
sono d'accordo
per questo ho messo in spoiler ; in questo caso il mio intervento non aveva scopi didattici: mi sono solo divertito ad arrivare rapidamente alla soluzione
per questo ho messo in spoiler ; in questo caso il mio intervento non aveva scopi didattici: mi sono solo divertito ad arrivare rapidamente alla soluzione
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