Equazione differenziale lineare secondo ordine

[Mito125]

Sto risolvendo questa equazione:

$y'' -7y'+10y = e^(2x+3)$

$\lambda^2 -7 \lambda +10 = 0 -> \lambda_(1,2) = (7 +- sqrt(49-40))/2 -> 5,2 $

$y_o (x) = c_1 e^(5x) + c_2 e^(2x)$

Trovo la soluzione particolare considerando che nell'esponente di $e$ trovo una soluzione dell'omogenea:

$y_p = kxe^(2x+3)\ \ y'=k(1+2x)e^(2x+3)\ \ y'' = k(4+4x)e^(2x+3)$

$(4+4x-7-14x+10x)ke^(2x+3) = e^(2x+3) -> k= -1/3$

$y_p (x) = -1/3 xe^(2x+3)$

$y(x) = c_1 e^(5x) + c_2 e^(2x) -1/3 xe^(2x+3)$

Questa è la soluzione che ho come soluzione dell'esercizio... Però controllando su wolfram alpha:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27-7y%27%2B10y+%3D+e^%282x%2B3%29

Mi da in più un $-1/9 e^(2x+3)$ che io non capisco come trovare... Anche perchè se faccio show steps non mi presenta quella soluzione.... Sta sbagliando Wolfram???

[lordb]

Ciao.

Guarda che Wolphram mi dice:

$text {The general solution is:}$
$y(x) = y_(c(x))+y_(p(x)) = -1/3 e^(2 x+3) x+c_1 e^(2 x)+c_2 e^(5 x)$

[Mito125]

Forse è impazzito da me... Non so... Vorrei solo sapere se quell'ultimo pezzo c'è oppure no...

[lordb]

Ciao, è molto semplice verificare che quello che hai o quello che ti dà wolfram sia un integrale generale: basta sostituire nell'equazione differenziale e vedere se ottieni l'identità!
In questo caso visto che il tuo dubbio riguardava la soluzione particolare ti bastava verificare che quella di wolfram fosse soluzione (idem per la tua).
Vabbè i conti li ho già fatti io
Dunque entrambe le soluzioni vanno bene, avete solo trovato due soluzioni particolari differenti!

[laura1232]

In realtà la soluzione è la stessa ma scritta in due modi diversi infatti:
$c_1 e^{2x}+c_2 e^{5x}-1/3 e^{2x+3}x-1/9 e^{2x+3}=c_1 e^{2x}+c_2 e^{5x}-1/3 e^{2x+3}x-1/9 e^{2x} e^3=$
$=(c_1-1/9 e^3)e^{2x}+c_2 e^{5x}-1/3 e^{2x+3}x=c_3 e^{2x}+c_2 e^{5x}-1/3 e^{2x+3}x$

[Mito125]

Grazie ad entrambi... Adesso mi è chiaro...

[lordb]

Di niente