Equazione differenziale lineare non omogenea
Frequento il primo anno del corso di laurea in chimica.
Mi scuso per non aver usato il linguaggio di ASCIMathML in quanto non ho trovato i codici corrispondenti per scrivere un'equazione differenziale.
Per l'esame di analisi II mi sono ritrovata a risolvere quest'equazione differenziale
y''+y=xcosx
Non ho avuto problemi riguardo la ricerca dell'integrale generale bensì nella ricerca dell'integrale particolare.
L'integrale particolare assume la forma
v(x)=(ax^2+bx)cosx+(cx^2+dx)sinx
v''(x)=(2a+4cx+2d-ax^2-bx)cosx+(2c-4ax-2b-cx^2-dx)sinx
Sostituendo nell'equazione differenziale v(x) e v''(x) si ha
(2a+4cx+2d)cosx+(2c-4ax-2b)sinx=xcosx
I "conti" sono stati fatti bene in quanto li ho controllati anche con Derive.
Affinchè i due membri dell'equazione siano uguali bisogna impostare un sistema di due equazioni in 5 incognite: ha senso scrivere le infinite soluzioni dipendenti da più paramentri oppure più semplicemente l'equazione differenziale non ammette soluzioni perchè queste costanti non sono uniche?
Grazie a chi mi risponderà.
Mi scuso per non aver usato il linguaggio di ASCIMathML in quanto non ho trovato i codici corrispondenti per scrivere un'equazione differenziale.
Per l'esame di analisi II mi sono ritrovata a risolvere quest'equazione differenziale
y''+y=xcosx
Non ho avuto problemi riguardo la ricerca dell'integrale generale bensì nella ricerca dell'integrale particolare.
L'integrale particolare assume la forma
v(x)=(ax^2+bx)cosx+(cx^2+dx)sinx
v''(x)=(2a+4cx+2d-ax^2-bx)cosx+(2c-4ax-2b-cx^2-dx)sinx
Sostituendo nell'equazione differenziale v(x) e v''(x) si ha
(2a+4cx+2d)cosx+(2c-4ax-2b)sinx=xcosx
I "conti" sono stati fatti bene in quanto li ho controllati anche con Derive.
Affinchè i due membri dell'equazione siano uguali bisogna impostare un sistema di due equazioni in 5 incognite: ha senso scrivere le infinite soluzioni dipendenti da più paramentri oppure più semplicemente l'equazione differenziale non ammette soluzioni perchè queste costanti non sono uniche?
Grazie a chi mi risponderà.
Risposte
Perchè sarebbero solo due le equazioni?
E perchè sarebbero cinque le incognite? (Vedo quattro costanti da determinare, non cinque...)
C'è qualcosa che non va; quali sono per te le due equazioni?
E perchè sarebbero cinque le incognite? (Vedo quattro costanti da determinare, non cinque...)
C'è qualcosa che non va; quali sono per te le due equazioni?
$\{(2a+4cx+2d= x),(2c-4ax-2b = 0):}$
C'è qualcosa di errato nell'impostazione? Sì le incognite sono 4 mi sono confusa
C'è qualcosa di errato nell'impostazione? Sì le incognite sono 4 mi sono confusa
Sì i segni li ho controllati con Derive due volte, ad ogni modo ricontrollerò.
La cosa grave è che non ho capito come fai a ricavarti le altre due condizioni
Io ragiono così: affinchè i due membri siano uguali bisogna uguagliare i coefficienti di cosx e quelli di sinx; siccome il termine sinx non compare nel termine noto dell'equazione differenziale, ho posto il coefficiente di sinx uguale a 0 e quello si cosx uguale a x. Come imposti le altre due condizioni?
Mi vacillano le certezze
La cosa grave è che non ho capito come fai a ricavarti le altre due condizioni
Io ragiono così: affinchè i due membri siano uguali bisogna uguagliare i coefficienti di cosx e quelli di sinx; siccome il termine sinx non compare nel termine noto dell'equazione differenziale, ho posto il coefficiente di sinx uguale a 0 e quello si cosx uguale a x. Come imposti le altre due condizioni?
Mi vacillano le certezze
Sorry, prima non avevo letto bene il tuo post... Rimedio ora (ho cancellato il mio post precedente, spero non ti dispiaccia).
Oh, ma queste sono due uguaglianze tra polinomi!
Fin qui tutto a posto.
Ora devi solo renderti conto che queste due uguaglianze "mascherano" quattro equazioni in $a,b,c,d$: per vedere ciò basta ricordare il principio d'identità dei polinomi, ossia:
Nel tuo caso hai due uguaglianze tra due polinomi, ossia $2a+4cx+2d=x$ e $2c-4ax-2b=0$; per il teorema appena ricordato, queste due uguaglianze equivalgono alle uguaglianze tra i coefficienti delle potenze di $x$: perciò dal tuo sistema trai:
$2a+4cx+2d=x => \{(4c=1),(2a+2d=0):}$
$2c-4ax-2b=0 => \{ (-4a=0),(2c-2b=0):}$
ed ecco le quattro equazioni che ti servono per risolvere!
"Marina89":
$\{(2a+4cx+2d= x),(2c-4ax-2b = 0):}$
C'è qualcosa di errato nell'impostazione? Sì le incognite sono 4 mi sono confusa
Oh, ma queste sono due uguaglianze tra polinomi!
Fin qui tutto a posto.
Ora devi solo renderti conto che queste due uguaglianze "mascherano" quattro equazioni in $a,b,c,d$: per vedere ciò basta ricordare il principio d'identità dei polinomi, ossia:
Due applicazioni polinomiali $p(x)=a_nx^n+a_(n-1)x^(n-1)+\ldots +a_1x+a_0$ e $q(x)=b_mx^m+b_(m-1)x^(m-1)+\ldots +b_1x+b_0$ a coefficienti reali sono identicamente uguali se e solo se hanno lo stesso grado ed hanno ordinatamente uguali i coefficienti delle potenze della $x$, ossia se $n=m$ ed in più $a_n=b_n, a_(n-1)=b_(n-1),\ldots,a_1=b_1,a_0=b_0$.
Nel tuo caso hai due uguaglianze tra due polinomi, ossia $2a+4cx+2d=x$ e $2c-4ax-2b=0$; per il teorema appena ricordato, queste due uguaglianze equivalgono alle uguaglianze tra i coefficienti delle potenze di $x$: perciò dal tuo sistema trai:
$2a+4cx+2d=x => \{(4c=1),(2a+2d=0):}$
$2c-4ax-2b=0 => \{ (-4a=0),(2c-2b=0):}$
ed ecco le quattro equazioni che ti servono per risolvere!
Grazie mille! E dire che questo principio di identità tra i polinomi lo avrò applicato tanto di quelle volte per integrali e anche equazioni differenziali...
Che facoltà frequenti a Napoli?
Ad ogni modo grazie mille per la disponibilità, nonstante l'ora tarda
Io frequento chimica, come ho già scritto, ma nel nuovissimo ordinamento la matematica l'hanno ridotta all'osso compattando tutto. La cosa paradossale è che gli esami valgono più crediti, ma i programmi sono ridotti all'osso rispetto a qualche anno fa!(riferendomi sempre al nuovo ordinamento)
Ops, mi rendo conto di essere off topic
Era solo un piccolo sfogo senza importanza
Grazie ancora,
Marina
Che facoltà frequenti a Napoli?
Ad ogni modo grazie mille per la disponibilità, nonstante l'ora tarda
Io frequento chimica, come ho già scritto, ma nel nuovissimo ordinamento la matematica l'hanno ridotta all'osso compattando tutto. La cosa paradossale è che gli esami valgono più crediti, ma i programmi sono ridotti all'osso rispetto a qualche anno fa!(riferendomi sempre al nuovo ordinamento)
Ops, mi rendo conto di essere off topic
Era solo un piccolo sfogo senza importanza
Grazie ancora,
Marina
"Marina89":
Che facoltà frequenti a Napoli?
Io frequento chimica
Non frequenti la facoltà di Chimica, ma la facoltà di Scienze MM.FF.NN. aderendo ad un CDL in Chimica. La facoltà di Chimica non esiste.
[OT]
Esiste solo nelle vostre menti bacate di gente che 'un tromba mai! (conte Uguccione)
[size=75]Ah, bei ricordi d'adolescenza... click[/size]
[/OT]
"WiZaRd":
La facoltà di Chimica non esiste.
Esiste solo nelle vostre menti bacate di gente che 'un tromba mai! (conte Uguccione)
[size=75]Ah, bei ricordi d'adolescenza... click[/size]
[/OT]
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