Equazione differenziale lineare di secondo ordine..
l'equazione è questa:
$y''-5y'+6y=e^{2x} $
per l'omogenea associata nessun problema, ma per la non omogenea non riesco a trovare soluzione..mi date una mano?
$y''-5y'+6y=e^{2x} $
per l'omogenea associata nessun problema, ma per la non omogenea non riesco a trovare soluzione..mi date una mano?
Risposte
Qual è la soluzione dell'omogenea? E quale metodo vorresti usare per determinare una soluzione particolare?
"ciampax":
Qual è la soluzione dell'omogenea? E quale metodo vorresti usare per determinare una soluzione particolare?
due soluzioni dell'omogenea associata sono
$trarr e^(2t)$ e $trarr e^(3t)$
per la non omogenea ho tentato di trovare una soluzione del tipo
$w=A*e^(2t)$ oppure $w=A*t*e^(2t)$
ma niente.. sono all'inizio con le equazioni differenziali quindi non so..
Visto che la soluzione dell'omogenea è $y=C_1 e^{2t}+C_2 e^{3t}$ la candidata per la soluzione particolare è $y_p=At e^{2t}$, in quanto la funzione esponenziale $e^{2t}$ già è presente nella soluzione dell'omogenea. Per determinare $A$ dovrai derivare la funzione $y_p$ e sostituire le sue derivate nell'equazione di partenza: otterrai così una condizione che $A$ deve soddisfare affinche quella sia una soluzione che ti permettere di trovarne il valore.
"ciampax":
Visto che la soluzione dell'omogenea è $y=C_1 e^{2t}+C_2 e^{3t}$ la candidata per la soluzione particolare è $y_p=At e^{2t}$, in quanto la funzione esponenziale $e^{2t}$ già è presente nella soluzione dell'omogenea. Per determinare $A$ dovrai derivare la funzione $y_p$ e sostituire le sue derivate nell'equazione di partenza: otterrai così una condizione che $A$ deve soddisfare affinche quella sia una soluzione che ti permettere di trovarne il valore.
ho fatto cosi come hai detto tu (avevo anche già provato prima) ma non so interpretare il risultato..l'integrale generale dovrebbe essere:
$y(x) = C1e^(2x) + C2e^(3x)-xe^(2x)$
ma a me esce A=1/(1-5x)
Non è possibile che venga una funzione! A è una costante. Se la candidata è [tex]$y_p=A t e^{2t}$[/tex] le sue derivate risultano
[tex]$y_p'=A(1+2t)e^{2t},\qquad y_p''=4A(1+t)e^{2t}$[/tex]
e quindi sostituendo si ha
[tex]$4A(1+t)e^{2t}-5A(1+2t)e^{2t}-6A te^{2t}=e^{2t}$[/tex]
da cui raccogliendo $A$ e dividendo per la funzione esponenziale (che è sempre diversa da zero)
[tex]$A(4+4t-5-10t+6t)=1 \ \Rightarrow\ A=-1$[/tex]
e quindi la soluzione particolare è [tex]$y_p=-t e^{2t}$[/tex].
[tex]$y_p'=A(1+2t)e^{2t},\qquad y_p''=4A(1+t)e^{2t}$[/tex]
e quindi sostituendo si ha
[tex]$4A(1+t)e^{2t}-5A(1+2t)e^{2t}-6A te^{2t}=e^{2t}$[/tex]
da cui raccogliendo $A$ e dividendo per la funzione esponenziale (che è sempre diversa da zero)
[tex]$A(4+4t-5-10t+6t)=1 \ \Rightarrow\ A=-1$[/tex]
e quindi la soluzione particolare è [tex]$y_p=-t e^{2t}$[/tex].
sbagliavo solo i calcoli evidentemente perchè il procedimento l'ho fatto uguale!! grazie mille 
Prego. 
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