Equazione differenziale lineare di secondo ordine
Dall'osservazione della dinamica di una popolazione si ricava la seguente legge
10 yn+1 = 7yn - yn-1 + 4. (yn+1 , yn , yn-1 sono ai pedici)
a) Supponendo di conoscere le condizioni iniziali y(0)=2 , y(1)=1 , determinare la successione yn che soddisfa l'equazione data.
b) Prevedere l'evoluzione della popolazione al crescere di n e studiare la stabilità delle soluzioni.
c) Tracciare in un grafico i primi 4 valori della successione determinata.
Per quanto riguarda questo esercizio ho dei dubbi sul punto b), per caso devo fare qualche dimostrazione? Potreste spiegarmi come devo rispondere a questo quesito?
Per il punto c) vorrei sapere come trovare gli altri due punti per poter fare il grafico.
10 yn+1 = 7yn - yn-1 + 4. (yn+1 , yn , yn-1 sono ai pedici)
a) Supponendo di conoscere le condizioni iniziali y(0)=2 , y(1)=1 , determinare la successione yn che soddisfa l'equazione data.
b) Prevedere l'evoluzione della popolazione al crescere di n e studiare la stabilità delle soluzioni.
c) Tracciare in un grafico i primi 4 valori della successione determinata.
Per quanto riguarda questo esercizio ho dei dubbi sul punto b), per caso devo fare qualche dimostrazione? Potreste spiegarmi come devo rispondere a questo quesito?
Per il punto c) vorrei sapere come trovare gli altri due punti per poter fare il grafico.
Risposte
Se ho capito quello che scrivi (e se leggessi qui: come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html sarebbe cosa buona e giusta) hai una equazione ricorsiva dalla quale poter determinare le $y_n$, corretto? Mi pare, allora, che una volta trovata la funzione generatrice di tale successione, tu possa scrivere esplicitamente le $y_n$ e a quel punto per il punto b) si tratta di fare un limite e verificare che tipo di andamento asintotico abbia tale successione.
L'ultimo punto vuol dire, semplicemente, che una volta trovata l'espressione di $y_n=y(n)$ calcoli tali valori per $n=2,\ 3$.
L'ultimo punto vuol dire, semplicemente, che una volta trovata l'espressione di $y_n=y(n)$ calcoli tali valori per $n=2,\ 3$.
Si tratta di un' equazione alle ricorrenze di tipo lineare ( non omogenea). Una soluzione particolare è chiaramente $y_n=1$ e per questo sarà sufficiente occuparsi dell'equazione omogenea associata:
$10y_{n+1}-7y_n+y_{n-1}=0$
Com'è noto, si può tentare di risolvere una tale equazione ponendo $y_n=r^n$. In tal modo si ha:
$10r^{n+1}-7r^n+r^{n-1}=0$
da cui :
$10r^2-7r+1=0$ che ha come soluzioni $r_1=1/5,r_2=1/2$
Pertanto la soluzione generale si può mettere nella forma :
(1) $y_n=A(1/5)^n+B(1/2)^n+1$
Imponendo le condizioni iniziali risulta : $A=5/3,b=-2/3$ e dunque la (1) diventa :
(2) $y_n=1/3(5^{1-n}-2^{1-n})+1$
Dalla (2) si vede che al crescere di n la $y_n$ si stabilizza sul valore limite =1 ( e questo è una sia pur parziale risposta al punto b). Quanto al punto c , si ha :
$y_0=2,y_1=1,y_2=0.9,y_3=0.93$
ed è facile mettere in grafico questi valori , prendendo come ascisse i valori di n e come ordinate i corrispondenti valori di $y_n$
$10y_{n+1}-7y_n+y_{n-1}=0$
Com'è noto, si può tentare di risolvere una tale equazione ponendo $y_n=r^n$. In tal modo si ha:
$10r^{n+1}-7r^n+r^{n-1}=0$
da cui :
$10r^2-7r+1=0$ che ha come soluzioni $r_1=1/5,r_2=1/2$
Pertanto la soluzione generale si può mettere nella forma :
(1) $y_n=A(1/5)^n+B(1/2)^n+1$
Imponendo le condizioni iniziali risulta : $A=5/3,b=-2/3$ e dunque la (1) diventa :
(2) $y_n=1/3(5^{1-n}-2^{1-n})+1$
Dalla (2) si vede che al crescere di n la $y_n$ si stabilizza sul valore limite =1 ( e questo è una sia pur parziale risposta al punto b). Quanto al punto c , si ha :
$y_0=2,y_1=1,y_2=0.9,y_3=0.93$
ed è facile mettere in grafico questi valori , prendendo come ascisse i valori di n e come ordinate i corrispondenti valori di $y_n$
Grazie Ciampax (perdonami ma non conosco il tuo nome), scusami ma per le formule non riesco a scriverle 
ritornando al punto b) dell'esercizio ho calcolato la [tex]y_n[/tex] e ho ottenuto il seguente risultato :
[tex]y_n[/tex] = 5/3 (1/5)^n - 2/3 (1/2)^n + 1
il limite devo farlo in base a questo risultato?? (purtroppo non so come si fa!)
Grazie!!!
ritornando al punto b) dell'esercizio ho calcolato la [tex]y_n[/tex] e ho ottenuto il seguente risultato :
[tex]y_n[/tex] = 5/3 (1/5)^n - 2/3 (1/2)^n + 1
il limite devo farlo in base a questo risultato?? (purtroppo non so come si fa!)
Grazie!!!
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