Equazione differenziale lineare del secondo ordine
Ciao,
un esercizio mi chiede di determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:
l'ho risolta con il metodo di Lagrange e mi viene:
poi chiede: fissato \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), sia \(\displaystyle x \mapsto \Phi_\alpha (x) \) la soluzione del problema di Cauchy
e si consideri il limite \(\displaystyle l (\alpha)=\lim_{x\to -\infty}{ \Phi_\alpha (x)} \). Determinare se esiste \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle l (\alpha)=0 \) ed in tal caso si fornisca la soluzione.
Non riesco proprio a capire la seconda parte, qualcuno può illuminarmi? Grazie!
un esercizio mi chiede di determinare l'integrale generale dell'equazione differenziale:
\(\displaystyle
y''-4y-8e^{2x}=0
\)
y''-4y-8e^{2x}=0
\)
l'ho risolta con il metodo di Lagrange e mi viene:
\(\displaystyle
\Phi(c_1,c_2,x)=c_1 e^{2x}+c_2 e^{-2x}+ 2x e^{2x}- \frac{1}{2} e^{2x}
\)
\Phi(c_1,c_2,x)=c_1 e^{2x}+c_2 e^{-2x}+ 2x e^{2x}- \frac{1}{2} e^{2x}
\)
poi chiede: fissato \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \), sia \(\displaystyle x \mapsto \Phi_\alpha (x) \) la soluzione del problema di Cauchy
\(\displaystyle
\begin{cases}
y''-4y-8e^{2x}=0\\
y(0)=0, y'(0)=\alpha
\end{cases}
\)
\begin{cases}
y''-4y-8e^{2x}=0\\
y(0)=0, y'(0)=\alpha
\end{cases}
\)
e si consideri il limite \(\displaystyle l (\alpha)=\lim_{x\to -\infty}{ \Phi_\alpha (x)} \). Determinare se esiste \(\displaystyle \alpha \in \mathbb{R} \) tale che \(\displaystyle l (\alpha)=0 \) ed in tal caso si fornisca la soluzione.
Non riesco proprio a capire la seconda parte, qualcuno può illuminarmi? Grazie!
Risposte
Semplicemente devi risolvere il problema di Cauchy al variare del parametro. Hai risolto l'equazione differenziale, puoi imporre i dati i iniziali per trovare i coefficienti $c_i$ della soluzione. Fatto ciò, basta passare al limite e vedere quando questo è zero (se è possibile).
Quindi quando \(\displaystyle \alpha=0 \)? può essere?
Non so perché non ho fatto i conti 
Osserva che comunque i termini della soluzione tendono tutti a $0$, a parte il termine $c_2 e^{-2x}$. Quindi affinché la soluzione vada a $0$, dev'essere $c_2=0$. Ora si tratta semplicemente di risolvere il sistema di Cauchy e esprimere i coefficienti in funzione di $\alpha$, per trovare il valore per cui $c_2=0$.
Osserva che comunque i termini della soluzione tendono tutti a $0$, a parte il termine $c_2 e^{-2x}$. Quindi affinché la soluzione vada a $0$, dev'essere $c_2=0$. Ora si tratta semplicemente di risolvere il sistema di Cauchy e esprimere i coefficienti in funzione di $\alpha$, per trovare il valore per cui $c_2=0$.
"Antimius":
Non so perché non ho fatto i conti
Osserva che comunque i termini della soluzione tendono tutti a $ 0 $, a parte il termine $ c_2 e^{-2x} $. Quindi affinché la soluzione vada a $ 0 $, dev'essere $ c_2=0 $. Ora si tratta semplicemente di risolvere il sistema di Cauchy e esprimere i coefficienti in funzione di $ \alpha $, per trovare il valore per cui $ c_2=0 $.
Allora dovrebbe essere corretto. Grazie!
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