Equazione differenziale lineare del primo ordine
Stavo studiando la teoria e mi sono imbattuta in una equazione del genere:
$y'=1-y^2$
e nella spiegazione il professore l'ha risolta come separabile e mi torna.
Il fatto è che mi sono chiesta:ma sarebbe possibile anche risolverla come lineare del 1° ordine?
In effetti riscrivendola $y'+y^2=1$ sarebbe della forma $y'+a(t)y=g(t)$ con g(t) costante 1 e quindi utilizzare il metodo risolutivo con l'integrale tipico delle lineari al primo ordine.
Il punto è che svolgendola così non mi viene e non capisco il motivo.
$y'=1-y^2$
e nella spiegazione il professore l'ha risolta come separabile e mi torna.
Il fatto è che mi sono chiesta:ma sarebbe possibile anche risolverla come lineare del 1° ordine?
In effetti riscrivendola $y'+y^2=1$ sarebbe della forma $y'+a(t)y=g(t)$ con g(t) costante 1 e quindi utilizzare il metodo risolutivo con l'integrale tipico delle lineari al primo ordine.
Il punto è che svolgendola così non mi viene e non capisco il motivo.
Risposte
"saretta:)":
riscrivendola $y'+y^2=1$ sarebbe della forma $y'+a(t)y=g(t)$
No, non lo è.
Non è lineare , quel $y^2 $ fa cascare le tue ( errate ) supposizioni
Perfetto, perché il dubbio mi era sorto proprio per il fatto che y è funzione di t a sua volta e anche un y^2 è funzione di t.
Purtroppo non ho preso chiari gli appunti e non devo aver del tutto compeso di che tipologia si tratti.
Diciamo che il termine "lineare" mi suggerisce che si tratti quindi di y intese a grado 1? Un po' come una eqazione a più incognite dove ogni incognita ha grado 1.
Perché avevo altresì inteso come combinazione lineare e avevo immaginato y come eventuali componenti di uno spazio vettoriale ed a coefficienti, o viceversa. Ma non è nulla del genere giusto?
Vedo che proprio non mi è chiara l' accezione "Lineare" in questo contesto in poche parole.
Purtroppo non ho preso chiari gli appunti e non devo aver del tutto compeso di che tipologia si tratti.
Diciamo che il termine "lineare" mi suggerisce che si tratti quindi di y intese a grado 1? Un po' come una eqazione a più incognite dove ogni incognita ha grado 1.
Perché avevo altresì inteso come combinazione lineare e avevo immaginato y come eventuali componenti di uno spazio vettoriale ed a coefficienti, o viceversa. Ma non è nulla del genere giusto?
Vedo che proprio non mi è chiara l' accezione "Lineare" in questo contesto in poche parole.
Lineare vuol dire di primo grado, sia la funzione incognita $ y $ che le sue derivate ( in questo caso essendo equazione del primo ordine apparirà solo la derivata prima $y' $ .Invece la variabile $t $ può apparire come vuole - sta inclusa in $a(t)$ .
Ma non c'è niente che deve sggerire il termine "lineare"...quando si parla delle edo per prima cosa si fa la classificazione e si definscono i vari termini, se no poi uno con lineare pensa a fantomatici spazi vettoriali
A precisazione del mio post precedente , $a(t) , g(t) $ devono essere continue nel loro insieme di definizione ; quindi non proprio come si vuole.... 
Mi è chiaro ora, vi ringrazio.
Mi mancava il tassello per interpretare
PS:
In qualunque lineare devono aver la proprietà di esser continue giusto? O solo in quelle di primo ordine?
Mi mancava il tassello per interpretare
PS:
"Camillo":
A precisazione del mio post precedente , $a(t) , g(t) $ devono essere continue nel loro insieme di definizione ; quindi non proprio come si vuole....
In qualunque lineare devono aver la proprietà di esser continue giusto? O solo in quelle di primo ordine?
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