Equazione differenziale lineare a coefficienti variabili

[milanesinho]

Ecco la seguente equazione diff.:

$y'' - 2xy' = 4x^(3)$


io ho provato a sostituire y' con la nuova variabile z(in modo da avere un'equazione lineare del primo ordine).....poi mi sono trovato l'integrale generale di z ma poi non so più come andare avanti perchè poi per ritrovare le soluzioni in y dovrei svolgere l'integrale di uno esponenziale elevato ad x al quadrato e sapete benissimo che in Riemann non si può fare.

Questa è un'equazione di cui neanche nel libro degli esercizi sono riuscito a trovarne un metodo di risoluzione.

Mi potete illuminare e spiegare passo passo la sua risoluzione? vi ringrazio !

[Rigel1]

Basta lasciare indicato l'integrale di \(e^{x^2}\), non è mica vietato.

[milanesinho]

sì ma il metodo che ho usato è giusto o c'è qualche altra via possibile?

[dissonance]

"milanesinho": l'integrale di uno esponenziale elevato ad x al quadrato e sapete benissimo che in Riemann non si può fare.

No. Non è questione di integrale di Riemann o di nessun altro. \(e^{-x^2}\) è una funzione integrabile in tutti i sensi che vuoi e su tutti gli intervalli che vuoi (compresa l'intera retta reale). Tu vuoi dire che "non ha una primitiva esprimibile elementarmente", il che è molto diverso. Ma gli integrali esistono tutti. Alcuni si possono calcolare esplicitamente, come questo:

\[\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx=\sqrt{\pi}; \]

altri invece si possono "solo" approssimare, con qualsiasi numero di cifre significative tu desideri, usando metodi numerici.

[milanesinho]

sì sì intendevo che non è esprimibile elementarmente. cmq ho risolto grazie.