Equazione differenziale lineare

qwert90
Salve ho la seguente equazione differenziale:

$y^('')-3y^{\prime}+2y=2e^x$

allora considerando la omogenea associata e il suo polinomio caratteristico trovo che un integrale dell'omogenea associata è:
$c_1e^(2x)+c_2e^x$
[size=75]Ho corretto aggiungendo le parentesi per l'esponente: $c_1e^(2x)+c_2e^x$
Camillo[/size]


il termine noto è del tipo $e^(ax)(c_0+c_1*x+.....+c_k*x^k)$

con $a=1$ che però è una radice del polinomo carattersitico scritto in precedenza ...
quindi un integrale particolare della completa sarà del tipo:
$u(x)=x^h*(C_0+C_1*x+......+C_k*x^k)*e^(ax)$

è cosi??



ora per trovare $C_0$ Devo derivare $u(x)$ e poi sostuitire nell'equazione generale e mi ricavo la $C_0$ ...
è cosi??
solo che poi ho dei problemi perchè mi impantano nei calcoli....

Se potete darmi una mano vi ringrazio :)

Risposte
Mathcrazy
"qwert90":
Salve ho la seguente equazione differenziale:

$y^('')-3y^{\prime}+2y=2e^x$

allora considerando la omogenea associata e il suo polinomio caratteristico trovo che un integrale dell'omogenea associata è:
$c_1e^2x+c_2e^x$


Fin qui è ok, o meglio hai sbagliato a scrivere l'esponente del primo termine (sicuramente è un errore di scrittura!):
[tex]$y_(x,c_1,c_2)= c_1e^{2x}+c_2e^x$[/tex]

Per quanto riguarda il termine noto, esso è del tipo:

[tex]$2e^x = e^x (2cos0x + sen0x)$[/tex]

Cioè una soluzione particolare della completa sarà del tipo (facendo riferimento al metodo delle funzioni simili):

[tex]$\bar{y} = x e^x (A)$[/tex] (*)

Deriva due volte, trovando [tex]$\bar{y'}$[/tex] e [tex]$\bar{y''}$[/tex]; poi dovresti sapere come andare avanti!!

___________________________

(*) NB. Quel [tex]$x[/tex] è dovuto dal fatto che nell'espressione del termine noto nella forma [tex]$e^{\alpha x} \left [Q(x)(cos \beta x) + P(x)(sen \beta x)\right]$[/tex]

- se [tex]$\alpha \pm i \beta[/tex] non è soluzione dell'omogenea associata; allora una soluzione è del tipo:

[tex]$y(x)= e^{\alpha x} \left [F(x)(cos \beta x) + G(x)(sen \beta x)\right]$[/tex]

- se [tex]$\alpha \pm i \beta[/tex] è soluzione dell'omogenea associata; allora una soluzione è del tipo:

[tex]$y(x)= x^k e^{\alpha x} \left [F(x)(cos \beta x) + G(x)(sen \beta x)\right]$[/tex]

dove [tex]k[/tex] è la molteplicità della soluzione, nell'esercizio in questione [tex]$k=1[/tex].

qwert90
grazie per la riposta mathcrazy... comuqnue si avevo commesos un errore di scrittura...ma potersti dirmi perchè il termine noto non è del tipo che ho detto io?
grazie mille :)

Camillo
L'integrale particolare $y_p $ sarà semplicemente del tipo .... .
Per trovare il valore di $a $ devi imporre che $y_p$ soddifi l'equazione completa. Calcola quindi $y'_p $ e $ y''_p $, inseriscili nell'equazione...

qwert90
grazie camillo.... quello che volevo chiedere io in particolare era come riconoscere il termine noto in questi casi...
ad esempio io qua c'ho quella espressione come termine noto .......come faccio a non confondermi tra le due tipologi e di termine noto e ad "azzeccare quella giusta"?

Perchè in questo caso il teimine noto non è del tipo che ho detto io e invece p del tipo di mathcrazy.....??

:) :)

Mathcrazy
qwert90 ho semplicemente usato un metodo risolutivo piuttosto veloce e pratico: il metodo delle funzioni simili.
Qui sul forum se n'è parlato più volte:

http://www.matematicamente.it/forum/post395338.html#395338

Più giù trovi anche un esempio (penultimo post)!

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