Equazione differenziale lineare

[qwert90]

Salve ho la seguente equazione differenziale:

$y^('')-3y^{\prime}+2y=2e^x$

allora considerando la omogenea associata e il suo polinomio caratteristico trovo che un integrale dell'omogenea associata è:
$c_1e^(2x)+c_2e^x$
[size=75]Ho corretto aggiungendo le parentesi per l'esponente: $c_1e^(2x)+c_2e^x$
Camillo[/size]


il termine noto è del tipo $e^(ax)(c_0+c_1*x+.....+c_k*x^k)$

con $a=1$ che però è una radice del polinomo carattersitico scritto in precedenza ...
quindi un integrale particolare della completa sarà del tipo:
$u(x)=x^h*(C_0+C_1*x+......+C_k*x^k)*e^(ax)$

è cosi??



ora per trovare $C_0$ Devo derivare $u(x)$ e poi sostuitire nell'equazione generale e mi ricavo la $C_0$ ...
è cosi??
solo che poi ho dei problemi perchè mi impantano nei calcoli....

Se potete darmi una mano vi ringrazio

[Mathcrazy]

"qwert90":Salve ho la seguente equazione differenziale:

$y^('')-3y^{\prime}+2y=2e^x$

allora considerando la omogenea associata e il suo polinomio caratteristico trovo che un integrale dell'omogenea associata è:
$c_1e^2x+c_2e^x$

Fin qui è ok, o meglio hai sbagliato a scrivere l'esponente del primo termine (sicuramente è un errore di scrittura!):
[tex]$y_(x,c_1,c_2)= c_1e^{2x}+c_2e^x$[/tex]

Per quanto riguarda il termine noto, esso è del tipo:

[tex]$2e^x = e^x (2cos0x + sen0x)$[/tex]

Cioè una soluzione particolare della completa sarà del tipo (facendo riferimento al metodo delle funzioni simili):

[tex]$\bar{y} = x e^x (A)$[/tex] (*)

Deriva due volte, trovando [tex]$\bar{y'}$[/tex] e [tex]$\bar{y''}$[/tex]; poi dovresti sapere come andare avanti!!

___________________________

(*) NB. Quel [tex]$x[/tex] è dovuto dal fatto che nell'espressione del termine noto nella forma [tex]$e^{\alpha x} \left [Q(x)(cos \beta x) + P(x)(sen \beta x)\right]$[/tex]

- se [tex]$\alpha \pm i \beta[/tex] non è soluzione dell'omogenea associata; allora una soluzione è del tipo:

[tex]$y(x)= e^{\alpha x} \left [F(x)(cos \beta x) + G(x)(sen \beta x)\right]$[/tex]

- se [tex]$\alpha \pm i \beta[/tex] è soluzione dell'omogenea associata; allora una soluzione è del tipo:

[tex]$y(x)= x^k e^{\alpha x} \left [F(x)(cos \beta x) + G(x)(sen \beta x)\right]$[/tex]

dove [tex]k[/tex] è la molteplicità della soluzione, nell'esercizio in questione [tex]$k=1[/tex].

[qwert90]

grazie per la riposta mathcrazy... comuqnue si avevo commesos un errore di scrittura...ma potersti dirmi perchè il termine noto non è del tipo che ho detto io?
grazie mille

[Camillo]

L'integrale particolare $y_p $ sarà semplicemente del tipo .... .
Per trovare il valore di $a $ devi imporre che $y_p$ soddifi l'equazione completa. Calcola quindi $y'_p $ e $ y''_p $, inseriscili nell'equazione...

[qwert90]

grazie camillo.... quello che volevo chiedere io in particolare era come riconoscere il termine noto in questi casi...
ad esempio io qua c'ho quella espressione come termine noto .......come faccio a non confondermi tra le due tipologi e di termine noto e ad "azzeccare quella giusta"?

Perchè in questo caso il teimine noto non è del tipo che ho detto io e invece p del tipo di mathcrazy.....??

[Mathcrazy]

qwert90 ho semplicemente usato un metodo risolutivo piuttosto veloce e pratico: il metodo delle funzioni simili.
Qui sul forum se n'è parlato più volte:

http://www.matematicamente.it/forum/post395338.html#395338

Più giù trovi anche un esempio (penultimo post)!