Equazione differenziale lineare

[M.Chief]

Calcola la soluzione generale dell'equazione differenziale

$ x'(t) + ((t^2+ 3t +1)/(t^2+1) + 1/(t^3+t))x(t)- 1/t=0 $
(parte della soluzione è indicare l'intervallo in cui è definita x(t).
Calcola la soluzione del problema di Cauchy relativo alla condizione iniziale x(-1) = 3e-3, mettendo in evidenza l'intervallo in cui è definita la soluzione e specificando se la soluzione è "in piccolo" o "in grande". Dì inoltre se la soluzione è unica e se è massimale (se non lo fosse estendila ad un intervallo più grande).

Allora, iniziamo col calcolo della soluzione generale: ho applicato il metodo del fattore integrante calcolando l'integrale del termine tra parentesi e poi moltiplicando tutto per e^integrale ; dopo questo dovrei calcolare l'integrale di 1/t moltiplicato per e^integrale...ma mi vengono calcoli un po' troppo lunghi e penso di sbagliare qualcosa. Qualcuno mi può aiutare? grazie in anticipo!

[Brancaleone1]

Benvenuto!

${ ( x'(t)+a(t)x(t)=f(t) => x'(t) + ((t^2+ 3t +1)/(t^2+1) + 1/(t^3+t))x(t)= 1/t ),( x(-1)=3(e-1) ):}$

Beh per prima cosa è bene trasformare il secondo termine:

$(t^2+ 3t +1)/(t^2+1) + 1/(t^3+t)=(t^2+ 3t +1)/(t^2+1) + 1/(t(t^2+1))=(t^3+3t^2+t+1)/(t(t^2+1))=1+(3t^2+1)/(t^3+t)$

Vedrai che, in questo modo, i conti saranno più facili. L'integrale generale ha forma:

$x(t)=e^(-A(u))(c+int f(u)e^(A(u))du)$ dove $A(u)=int a(u) du$

Quanto vale questo integrale?

[M.Chief]

Intanto grazie per la risposta. In effetti facevo un banale errore di calcolo... $ A(u)= t + ln| t^3+t| $ comunque la soluzione generale mi viene:
$ x(t)= 1/t -2/(t^2+1) + 2/(| t^3+t| ) + c/(e^t(| t^3+t| )) $
e la soluzione del problema di Cauchy relativo alla condizione iniziale x(-1)=3e-3 mi viene
$ c= (6e-4)/e $
$ x(t) = 1/t-2t/(t^2+1) +2/(| t^3+t| )+ (6e-4)/e 1/(e^t(| t^3+t| )) $
Ragionando nell'intervallo $ (-oo ,0) $ questa soluzione dovrebbe essere in grande (poichè definita nel più grande intervallo possibile, cioè $ (-oo ,0) ) $ tuttavia non riesco a discutere il fatto che sia unica o massimale, potresti aiutarmi?