Equazione differenziale interessante

[pumba91]

Dato il seguente problema di Cauchy
$ y'=e^{y} -e^{x} $
y(0)=0
scrivere lo sviluppo di Taylor della soluzione arrestato al terz'ordine e disegnare il grafico locale della soluzione in un intorno di x=0.

Risolvendola come un'equazione di bernoulli si arriva alla soluzione
$ y=-log (c-int_()^() e^{-e^{x} }) -e^{x} $. Come procedere ora??

[ciampax]

Un'equazione di Bernoulli? Ti pare che abbia la forma

[tex]y'+p(x)\cdot y=q(x)\cdot y^\alpha,\qquad \alpha\in\mathbb{R}$[/tex] ???

[pumba91]

No, hai ragione. è errato chiamarla equazione di bernoulli però il procedimento che ho usato, probabilmente in maniera errata è lo stesso:
$ -y' * e^{-y} -e^{x} * e^{-y}=-1 $
pongo $ e^{-y}=z(x) $ e arrivo a quella conclusione

[Fioravante Patrone1]

Inutile risolverla.
Basta fare un po' di derivate e sostituire la c.i., per avere lo sviluppo di Taylor.

[pumba91]

A ok, anche io ci avevo pensato, solo mi bloccavo a calcolare f(0). Non mi ero mica accorto che ci viene fornito dal problema! Ora provo a calcolare

[pumba91]

I calcoli ridanno, basta fare la derivata seconda e la derivata terza della soluzione, e non c'è bisogno di conoscere c numericamente. Grazie mille

[Fioravante Patrone1]

"pumba91":Grazie mille

Figurati! E' stato un piacere. Non sapevo cosa fare, il giorno della Befana

[gugo82]

[OT]

"Fioravante Patrone":Non sapevo cosa fare, il giorno della Befana

Certo, il tuo lavoro l'hai fatto a Natale...

[/OT]