Equazione differenziale impossibile!

[paoletto987]

questa è l'equazione differenziale impossibile!

$y'=(x+y)/(x-y)$

[_Tipper]

Dividendo numeratore e denominatore per $x$ si ottiene

$y' = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}$

Posto $z = \frac{y}{x}$, da cui $y = x z$ e $y' = z + x z'$, si ottiene

$z + x z' = \frac{1+z}{1-z}$

cioè

$x z' = \frac{1 + z^2}{1-z}$

che è a variabili separabili.

[paoletto987]

"Tipper":Dividendo numeratore e denominatore per $x$ si ottiene

$y' = \frac{1 + \frac{y}{x}}{1 - \frac{y}{x}}$

Posto $z = \frac{y}{x}$, da cui $y = x z$ e $y' = z + x z'$, si ottiene

$z + x z' = \frac{1+z}{1-z}$

cioè

$x z' = \frac{1 + z^2}{1-z}$

che è a variabili separabili.

ODDIO IMPOSSIBILE ma chi le ha mai fatte!!Abbiamo fatto il compito di analis II oggi...una tragedia questa sta fuori completamente!

[gugo82]

"paoletto987":questa è l'equazione differenziale impossibile!

$y'=(x+y)/(x-y)$

Come ha fatto notare Tipper, l'equazione è a secondo membro omogeneo e si riconduce ad un'ordinaria equazione a variabili separabili con la sostituzione $z=y/x$. Ovviamente le soluzioni del problema sono da ricercarsi in $RR^2$ privato della retta d'equazione $y=x$ (bisettrice I-III), che non è connesso...

[gugo82]

"paoletto987":
ODDIO IMPOSSIBILE ma chi le ha mai fatte!!Abbiamo fatto il compito di analis II oggi...una tragedia questa sta fuori completamente!

Studiate di più e lamentatevi meno.

[Paolo902]

"paoletto987":questa è l'equazione differenziale impossibile!

$y'=(x+y)/(x-y)$

Più in generale, le ODE scrivibili sotto la forma $y'=f(y/x)$ sono dette equazioni omogenee o di Manfredi (ovviamente supposta $f(y/x)$ continua in un opportuno intervallo $I$).

Ciao,

Paolo