EQUAZIONE DIFFERENZIALE IMPOSSIBILE
Ieri hao fatto lo scritto di Analisi II e siccome dopodomani ho l'orale ho un gran bisogno d'aiuto perchè non riesco a risolvere la seguente equazione differenziale:
$y"= 1/2 (y-x)^2$
Chiedo aiuto
Grazie
$y"= 1/2 (y-x)^2$
Chiedo aiuto
Grazie
Risposte
Penso che l'equazione sia in realta' $y'=1/2(y-x)^2$
Allora poni y=x+t con t funzione di x ;derivando rispetto ad x ottieni y'=1+t'
e sostituendo avrai l'equazione:
$1+t'=1/2t^2$ che e' a variabili separabili.Da essa ricavi che:
$2/(t^2-2)dt=dx$ ed integrando: $1/sqrt2[ln((t-sqrt2)/(t+sqrt2))-lnC]=x$
Oppure: $ln((y-x-sqrt2)/(y-x+sqrt2))-lnC=xsqrt2$ e quindi:
$((y-x-sqrt2)/(y-x+sqrt2))=Ce^(xsqrt2)$
Da qui ,con un po' di calcoli,segue la soluzione:
$y=x+sqrt2[(1+Ce^(xsqrt2))/(1-Ce^(sqrt2))]$
Allora poni y=x+t con t funzione di x ;derivando rispetto ad x ottieni y'=1+t'
e sostituendo avrai l'equazione:
$1+t'=1/2t^2$ che e' a variabili separabili.Da essa ricavi che:
$2/(t^2-2)dt=dx$ ed integrando: $1/sqrt2[ln((t-sqrt2)/(t+sqrt2))-lnC]=x$
Oppure: $ln((y-x-sqrt2)/(y-x+sqrt2))-lnC=xsqrt2$ e quindi:
$((y-x-sqrt2)/(y-x+sqrt2))=Ce^(xsqrt2)$
Da qui ,con un po' di calcoli,segue la soluzione:
$y=x+sqrt2[(1+Ce^(xsqrt2))/(1-Ce^(sqrt2))]$
Scusa, non me ne sono accorto ma se ne è volato un apice, la funzione in realtà questa:
$y'' = 1/2 (y-x)^2$
Per cui è di secondo ordine, perchè se fosse stata del primo l'avrei risolta anche io con Bernoulli. In questo trovo la difficoltà, cioè nel fatto che dopo aver posto $(y-x) = Z$ mi viene $Z^2$ e poi?
$y'' = 1/2 (y-x)^2$
Per cui è di secondo ordine, perchè se fosse stata del primo l'avrei risolta anche io con Bernoulli. In questo trovo la difficoltà, cioè nel fatto che dopo aver posto $(y-x) = Z$ mi viene $Z^2$ e poi?
Dopo aver posto y-x=z si ha l'equazione:
(1) $2z''=z^2$ e poiche' essa non contiene esplicitamente
la variabile x si puo' fare una ulteriore posizione:
$z'=(dz)/(dx)=p$ ,da cui derivando ancora rispetto ad x:
$z''=(dp)/dz(dz)/(dx)=p(dp)/(dz)$
Pertanto l'equazione (1) diventa : $2p(dp)/(dz)=z^2$ e separando le variabili:
$2pdp=z^2dz$ da cui $p^2=(z^3)/3+C_0$ ,ovvero :$p=+-sqrt((z^3)/3+C_0)$
Tornando alle variabili (x,y) si ottiene l'equazione :
$y'=1+-sqrt((y-x)^3/3+C_0$
E qui' mi sono fermato!! Vediamo se qualcuno riesce ad integrare o a trovare un metodo alternativo.
Archimede
(1) $2z''=z^2$ e poiche' essa non contiene esplicitamente
la variabile x si puo' fare una ulteriore posizione:
$z'=(dz)/(dx)=p$ ,da cui derivando ancora rispetto ad x:
$z''=(dp)/dz(dz)/(dx)=p(dp)/(dz)$
Pertanto l'equazione (1) diventa : $2p(dp)/(dz)=z^2$ e separando le variabili:
$2pdp=z^2dz$ da cui $p^2=(z^3)/3+C_0$ ,ovvero :$p=+-sqrt((z^3)/3+C_0)$
Tornando alle variabili (x,y) si ottiene l'equazione :
$y'=1+-sqrt((y-x)^3/3+C_0$
E qui' mi sono fermato!! Vediamo se qualcuno riesce ad integrare o a trovare un metodo alternativo.
Archimede
Anche a te viene un casino... 
...spero che davvero qualcuno riesca a darmi un aiuto
Cmq grazie mille
...spero che davvero qualcuno riesca a darmi un aiutoCmq grazie mille
Ma siete sicuri che si possa risolvere esplicitamente? Perche' il Maple non e' riuscito a trovare una soluzione esplicita e mi ha dato solo una soluzione implicita scritta in forma integrale:
$ {(x-3*int^(y-x)1/(9-18*C1+3*\xi^3)^(1/2),d\xi -C2 = 0),(x+3*int^(y-x)1/(9-18*C1+3*\xi^3)^(1/2),d\xi-C2 = 0):}$
$ {(x-3*int^(y-x)1/(9-18*C1+3*\xi^3)^(1/2),d\xi -C2 = 0),(x+3*int^(y-x)1/(9-18*C1+3*\xi^3)^(1/2),d\xi-C2 = 0):}$
"david_e":
Ma siete sicuri che si possa risolvere esplicitamente? Perche' il Maple non e' riuscito a trovare una soluzione esplicita e mi ha dato solo una soluzione implicita scritta in forma integrale:
$ {(x-3*int^(y-x)1/(9-18*C1+3*\xi^3)^(1/2),d\xi -C2 = 0),(x+3*int^(y-x)1/(9-18*C1+3*\xi^3)^(1/2),d\xi-C2 = 0):}$
Non so che dirti...alla lavagna ha scritto risolvere la seguente equazione differenziale, dopodichè nessuno è stato in grado di farla perchè anche a me sembra strana
Per risolvere l’equazione differenziale…
$y’’=1/2 (y-x)^2$ (1)
… conviene per prima cosa eliminare la x ponendo $w=y-x$ , per cui l’equazione diviene…
$w’’= 1/2*w^2$ (2)
Il procedimento standard per risolvere una equazione differenziale del tipo $w’’=f(w)$ consiste nell’operare la sostituzione seguente…
$w’’=(dw’)/(dx)= (dw’)/(dw) (dw)/(dx)= w’(dw’)/(dw)=f(w)$ (3)
Dalla (3) con passaggi non difficili si perviene alla formula risolvente…
$x=int (dw)/(sqrt(2F(w)+c_1)) + c_2 (4)
… con F(w) primitiva di f(w) e $c_1$,$c_2$ le usuali ‘costanti arbitrarie’. Ponendo $f(w)=1/2 w^2$ si perviene alla soluzione [in forma implicita] per w…
$x=ln (w+sqrt(w^2+c_1))+c_2$ (5)
… dalla quale ponendo $w=y-x$ di ottiene la soluzione per y…
$x=ln (y-x+sqrt((y-x)^2+c_1))+c_2$ (6)
Se questo è stato lo scritto di una prova di esame, ho paura che non molti lo hanno superato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$y’’=1/2 (y-x)^2$ (1)
… conviene per prima cosa eliminare la x ponendo $w=y-x$ , per cui l’equazione diviene…
$w’’= 1/2*w^2$ (2)
Il procedimento standard per risolvere una equazione differenziale del tipo $w’’=f(w)$ consiste nell’operare la sostituzione seguente…
$w’’=(dw’)/(dx)= (dw’)/(dw) (dw)/(dx)= w’(dw’)/(dw)=f(w)$ (3)
Dalla (3) con passaggi non difficili si perviene alla formula risolvente…
$x=int (dw)/(sqrt(2F(w)+c_1)) + c_2 (4)
… con F(w) primitiva di f(w) e $c_1$,$c_2$ le usuali ‘costanti arbitrarie’. Ponendo $f(w)=1/2 w^2$ si perviene alla soluzione [in forma implicita] per w…
$x=ln (w+sqrt(w^2+c_1))+c_2$ (5)
… dalla quale ponendo $w=y-x$ di ottiene la soluzione per y…
$x=ln (y-x+sqrt((y-x)^2+c_1))+c_2$ (6)
Se questo è stato lo scritto di una prova di esame, ho paura che non molti lo hanno superato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
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