Equazione differenziale II ordine non omogenea.
Salve a tutti. non ho ben chiaro come trovare la soluzione particolare di un'equazione differenziale di secondo ordine non omogenea. Per esempio:
$y''-2y'+y=x$
Le radici sono uguali ad 1 con molteplicità due (credo si dica in questo modo).
osserviamo che $b^2-4ac=0$ quindi la soluzione generale dell'omogenea associata è: $y(x)=c1e^x+c2xe^x$
Da quello che ho capito la soluzione particolare ha lo stesso ordine del polinomi a destra dell'equazione omogenea, quindi x.
Ora farei la derivata prima e seconda di tale polinomio, sostituirei questi valori nell'equazione $y''-2y'+y=x$ ricavandomi il valore della x. Il valore trovato sarà quindi il coefficiente della x nell'equazione particolare ricercata.
So di non aver capito bene l'argomento, prego quindi qualcuno di indicarmi quali sono i passaggi corretti, magari basandoci sull'esercizio incompleto. Grazie!
$y''-2y'+y=x$
Le radici sono uguali ad 1 con molteplicità due (credo si dica in questo modo).
osserviamo che $b^2-4ac=0$ quindi la soluzione generale dell'omogenea associata è: $y(x)=c1e^x+c2xe^x$
Da quello che ho capito la soluzione particolare ha lo stesso ordine del polinomi a destra dell'equazione omogenea, quindi x.
Ora farei la derivata prima e seconda di tale polinomio, sostituirei questi valori nell'equazione $y''-2y'+y=x$ ricavandomi il valore della x. Il valore trovato sarà quindi il coefficiente della x nell'equazione particolare ricercata.
So di non aver capito bene l'argomento, prego quindi qualcuno di indicarmi quali sono i passaggi corretti, magari basandoci sull'esercizio incompleto. Grazie!
Risposte
L'omogenea associata va bene.
La soluzione particolare sarà un polinomio di primo grado, quindi $tilde(y) (x)=ax+b$, con $a,b in RR$ da trovare.
Fai i conti e dovrebbe risultarti $a=1$ e $b=2$.
Quindi la soluzione sarà $y(x)=c_1 e^x +c_2 x * e^x +x +2$, con $c_1,c_2 in RR$
La soluzione particolare sarà un polinomio di primo grado, quindi $tilde(y) (x)=ax+b$, con $a,b in RR$ da trovare.
Fai i conti e dovrebbe risultarti $a=1$ e $b=2$.
Quindi la soluzione sarà $y(x)=c_1 e^x +c_2 x * e^x +x +2$, con $c_1,c_2 in RR$
In questo caso allora ho capito:
$\{(ax=x),(-2a+b=0):}$ da cui $\{(a=1),(b=2):}$ perchè l'equazione caratteristica è un polinomio di primo grado.
ma nel caso avessi $y''+2y'+y= -3cos(2x)-4sin(2x)$ in quale forma ci aspettiamo l'equazione caratteristica?
invece nel caso di $y''+4y=4$ non ho $x^2 $ ne $x $, sarebbe solo una costante?
$\{(ax=x),(-2a+b=0):}$ da cui $\{(a=1),(b=2):}$ perchè l'equazione caratteristica è un polinomio di primo grado.
ma nel caso avessi $y''+2y'+y= -3cos(2x)-4sin(2x)$ in quale forma ci aspettiamo l'equazione caratteristica?
invece nel caso di $y''+4y=4$ non ho $x^2 $ ne $x $, sarebbe solo una costante?
"Isabello":In questa forma: $tildey (x)= a*cos(2x)+b*sin(2x)$
$y''+2y'+y= -3cos(2x)-4sin(2x)$ in quale forma ci aspettiamo l'equazione caratteristica?
"Isabello":esatto
invece nel caso di $y''+4y=4$ non ho $x^2 $ ne $x $, sarebbe solo una costante?
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