Equazione differenziale II ordine, integrale generale
ho un problema su questa equazione, non riesco ad andare avanti:
[tex]y^{II}(x)-4y(x)=4e^{2x}+e^{x}[/tex]
mi sono trovato l'equazione caratteristica che è
[tex]\lambda^{2}-4=0[/tex] che ha come soluzioni +2,-2;
essendo l'integrale generale nella forma
[tex]y(x)=y0(x)+yp(x)[/tex] con yp soluzione particolare.
quindi y0(x) guardando alcune tabelle che ho sul quaderno mi viene
[tex]y0(x)=C1e^{2x}+C2e^{-2x}[/tex]
ora usando il principio di sovrapposizione mi trovo le soluzioni particolari così:
[tex]Ax^{2}e^{2x}[/tex]
e
[tex]Be^{x}[/tex]
quindi l'integrale generale unendo il tutto è:
[tex]y(x)=C1e^{2x}+C2e^{-2x}+Ax^{2}e^{2x}+Be^{x}[/tex]
ora da qui come si va avanti per assegnare un valore ad A e B?? se non sbaglio dovevo fare la derivata seconda dell'integrale generale e poi?
[tex]y^{II}(x)-4y(x)=4e^{2x}+e^{x}[/tex]
mi sono trovato l'equazione caratteristica che è
[tex]\lambda^{2}-4=0[/tex] che ha come soluzioni +2,-2;
essendo l'integrale generale nella forma
[tex]y(x)=y0(x)+yp(x)[/tex] con yp soluzione particolare.
quindi y0(x) guardando alcune tabelle che ho sul quaderno mi viene
[tex]y0(x)=C1e^{2x}+C2e^{-2x}[/tex]
ora usando il principio di sovrapposizione mi trovo le soluzioni particolari così:
[tex]Ax^{2}e^{2x}[/tex]
e
[tex]Be^{x}[/tex]
quindi l'integrale generale unendo il tutto è:
[tex]y(x)=C1e^{2x}+C2e^{-2x}+Ax^{2}e^{2x}+Be^{x}[/tex]
ora da qui come si va avanti per assegnare un valore ad A e B?? se non sbaglio dovevo fare la derivata seconda dell'integrale generale e poi?
Risposte
Perchè $ Ax^2e^(2x) $ e non $Axe^(2x) $? La radice $ lambda=2 $ è di molteplicità $1$.
Per determinare le costanti $A,B $ devi imporre che la soluzione particolare $ y_p=Ax e^(2x) +Be^x $ verifichi l'equazione differenziale data.
Calcola quindi la derivata seconda della soluzione particolare ( e solo di quella non della soluzione completa !) e poi imponi che $ (y_p)''-4 y_p =4e^(2x)+e^x $ .
Troverai così i valori di$ A,B $ ricordando che l'eqauzione deve essere verificata per tutti i valori di $x $.
Naturalmente non potrai determinare i valori di $C_1 , C_2 $ in mancanza di condizioni iniziali del problema.
Per determinare le costanti $A,B $ devi imporre che la soluzione particolare $ y_p=Ax e^(2x) +Be^x $ verifichi l'equazione differenziale data.
Calcola quindi la derivata seconda della soluzione particolare ( e solo di quella non della soluzione completa !) e poi imponi che $ (y_p)''-4 y_p =4e^(2x)+e^x $ .
Troverai così i valori di$ A,B $ ricordando che l'eqauzione deve essere verificata per tutti i valori di $x $.
Naturalmente non potrai determinare i valori di $C_1 , C_2 $ in mancanza di condizioni iniziali del problema.
salve..
anche io ho provato a fare questo esercizio e alla fine per determinare A e B mi è venuto fuori il seguente sistema: A-Ax=1 e B-4B=1
A questo punto come faccio a determinare i due valori??
Grazie mille!
anche io ho provato a fare questo esercizio e alla fine per determinare A e B mi è venuto fuori il seguente sistema: A-Ax=1 e B-4B=1
A questo punto come faccio a determinare i due valori??
Grazie mille!
Perchè Ax2e2x e non Axe2x? La radice λ=2 è di molteplicità 1.
Per determinare le costanti A,B devi imporre che la soluzione particolare yp=Axe2x+Bex verifichi l'equazione differenziale data.
Calcola quindi la derivata seconda della soluzione particolare ( e solo di quella non della soluzione completa !) e poi imponi che (yp)''-4yp=4e2x+ex .
Troverai così i valori diA,B ricordando che l'eqauzione deve essere verificata per tutti i valori di x.
vero sulla mg, distrazione! io invece poi facevo la derivata di tutta la soluzione, non solo della particolare!! se inoltre nell'equazione ci fosse stata anche la derivata prima ovviamente dovevo sostituire anche la derivata prima di yp no?
allora mi sono fatto un pò di conti stamattina (si, follia) e ho trovato:
[tex]yp'(x)=A(e^{2x}+2e^{2x})+Be^{x}[/tex]
[tex]yp''(x)=A(2e^{2x}+2e^{2x}+4xe^{2x})+Be^{x}[/tex]
quindi facendo le sostituzioni nell'equazione di partenza e semplificanto quella moltitudine di esponenziali e dividendo per due la prima equazione del sistema arrivo alle due equazioni:
[tex]2A=2
-3B=1[/tex]
quindi l'integrale generale mi viene:
[tex]y(x)=C1e^{2x}+C2e^{-2x}+xe^{2x}-1/3e^{x}[/tex]
che dovrebbe essere giusto, no?
La derivata prima non è corretta , deve essere $y_p'=Ae^(2x)+2Ax e^(2x)+Be^x$ , la tua derivata manca di una $x $ ....
Quando avrai rifatto i conti puoi poi vedere la correttezza del risultato ottenuto verificando che la soluzione soddisfi l'eq. diff.
Quando avrai rifatto i conti puoi poi vedere la correttezza del risultato ottenuto verificando che la soluzione soddisfi l'eq. diff.
giusto... rivedendo i calcoli anche a me viene così... prima avevo sbagliato a fare la derivata..
Comunque penso sia solo un errore di trascrizione ma a me nella derivata prima viene $yp'(x)= A(e^2x + 2xe^2x) + Be^x$
Comunque penso sia solo un errore di trascrizione ma a me nella derivata prima viene $yp'(x)= A(e^2x + 2xe^2x) + Be^x$
sisi, è vero, me la sono scordata riscrivendo il risultato qui (infetti se vedi sotto la derivata seconda è giusta), mio errore 
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