Equazione differenziale II ordine
Ciao a tutti 
Ho l'equazione differenziale
\(\displaystyle y''(x) -4y'(x) +4y(x) = f(x) \)
Devo:
α) per \(\displaystyle f(x)=0 \), trovare tutte le soluzioni tali che \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 y(x) dx = y(0) \)
β) per \(\displaystyle f(x) =|x| \), trovare tutte le soluzioni (se esistono).
Ho fatto così:
α) \(\displaystyle y''(x) -4y'(x) +4y(x) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4 \lambda+4=0 \Rightarrow \Delta=16-16=0 \Rightarrow \lambda=2 \)
allora
\(\displaystyle \Rightarrow y_0 = e^{2x} (c_1 + c_2x) \)
dove \(\displaystyle y_0 \) è soluzione dell'equazione omogenea.
Ora trovo quanto vale \(\displaystyle y(0) \):
\(\displaystyle y(0)=y_0(0)= c_1 \)
e risolvo l'integrale:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^0 y(x) dx = \int_{-\infty}^0 (e^{2x} c_1 + e^{2x} c_2x) dx = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left (\int_x^0 (e^{2t} c_1)dt + \int_x^0 (e^{2t} c_2t) dt \right ) =\)
\(\displaystyle = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left \{ \left (\frac{1}{2}c_1e^{2t} \right )_x^0 + c_2 \left [ \frac{1}{2}te^{2t} - \int \left ( \frac{1}{2}e^{2t} \right ) dt \right ]_x^0 \right \} =\)
\(\displaystyle = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left \{ \frac{1}{2} c_1 \left (1-e^{2x} \right ) + c_2 \left[ \frac{1}{2}te^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} \right ]_x^0 \right\} = \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}c_1 + \lim_{x \rightarrow -\infty} \left [c_2 \left ( -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}\right ) \right] \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}c_1 - \frac{1}{4}c_2 \) ricordando che \(\displaystyle = y(0) = c_1 \Rightarrow c_2 = -2c_1 \)
Perciò la consegna α è soddisfatta con \(\displaystyle y = e^{2x} (c_1 - 2c_1x) \)
Il problema però lo incontro nella
β) \(\displaystyle y''(x) -4y'(x) +4y(x) = |x| \)
La soluzione è \(\displaystyle y = y_0 + y_p \), ma per \(\displaystyle y_p \) non so come fare. Ho provato con
\(\displaystyle y_p=a+b|x| \)
\(\displaystyle y'_p=b\frac{|x|}{x} \)
\(\displaystyle y''_p=0 \)
ma non ho trovato nulla di concludente. Come ci si comporta in questi casi quando si ha un modulo?
Ho l'equazione differenziale
\(\displaystyle y''(x) -4y'(x) +4y(x) = f(x) \)
Devo:
α) per \(\displaystyle f(x)=0 \), trovare tutte le soluzioni tali che \(\displaystyle \int_{-\infty}^0 y(x) dx = y(0) \)
β) per \(\displaystyle f(x) =|x| \), trovare tutte le soluzioni (se esistono).
Ho fatto così:
α) \(\displaystyle y''(x) -4y'(x) +4y(x) = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 4 \lambda+4=0 \Rightarrow \Delta=16-16=0 \Rightarrow \lambda=2 \)
allora
\(\displaystyle \Rightarrow y_0 = e^{2x} (c_1 + c_2x) \)
dove \(\displaystyle y_0 \) è soluzione dell'equazione omogenea.
Ora trovo quanto vale \(\displaystyle y(0) \):
\(\displaystyle y(0)=y_0(0)= c_1 \)
e risolvo l'integrale:
\(\displaystyle \int_{-\infty}^0 y(x) dx = \int_{-\infty}^0 (e^{2x} c_1 + e^{2x} c_2x) dx = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left (\int_x^0 (e^{2t} c_1)dt + \int_x^0 (e^{2t} c_2t) dt \right ) =\)
\(\displaystyle = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left \{ \left (\frac{1}{2}c_1e^{2t} \right )_x^0 + c_2 \left [ \frac{1}{2}te^{2t} - \int \left ( \frac{1}{2}e^{2t} \right ) dt \right ]_x^0 \right \} =\)
\(\displaystyle = \lim_{x \rightarrow -\infty} \left \{ \frac{1}{2} c_1 \left (1-e^{2x} \right ) + c_2 \left[ \frac{1}{2}te^{2t} - \frac{1}{4}e^{2t} \right ]_x^0 \right\} = \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}c_1 + \lim_{x \rightarrow -\infty} \left [c_2 \left ( -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}xe^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}\right ) \right] \)
\(\displaystyle = \frac{1}{2}c_1 - \frac{1}{4}c_2 \) ricordando che \(\displaystyle = y(0) = c_1 \Rightarrow c_2 = -2c_1 \)
Perciò la consegna α è soddisfatta con \(\displaystyle y = e^{2x} (c_1 - 2c_1x) \)
Il problema però lo incontro nella
β) \(\displaystyle y''(x) -4y'(x) +4y(x) = |x| \)
La soluzione è \(\displaystyle y = y_0 + y_p \), ma per \(\displaystyle y_p \) non so come fare. Ho provato con
\(\displaystyle y_p=a+b|x| \)
\(\displaystyle y'_p=b\frac{|x|}{x} \)
\(\displaystyle y''_p=0 \)
ma non ho trovato nulla di concludente. Come ci si comporta in questi casi quando si ha un modulo?
Risposte
Ciao. Personalmente ho provato a risolvere così.
Premesso che il modulo in $x=0$ non è derivabile, provo a cercare soluzioni $y_p=A |x|+B$ diverse a seconda che sia $x<0$ oppure $x>0$.
Per $x>0$ è $|x|=x$, quindi $y_p=A x+B$ e l'equazione si riduce a $y''-4y'+4y=x$, soluzione (se non ho fatto male i
conti): $y_p=1/4x+1/4$, che nell'intervallo che sto considerando coincide di fatto con $y_p=1/4|x|+1/4$.
Per $x<0$ è $|x|=-x$, quindi $y_p=-A x+B$ da sostituire in: $y''-4y'+4y=-x$, risultato (mio quindi da verificare) $y_p=-1/4x-1/4$ cioè (data la restrizione $x<0$ ) equivalente a $y_p=1/4|x|-1/4$.
In conclusione la soluzione potrebbe essere espressa come $y_p=1/4|x|\pm1/4$, col $+$ se $x>0$ e col $-$ se $x<0$. Cosa che potrebbe compattarsi scrivendo ad esempio :$y_p=1/4|x|+|x|/(4x)$. Può funzionare?
Premesso che il modulo in $x=0$ non è derivabile, provo a cercare soluzioni $y_p=A |x|+B$ diverse a seconda che sia $x<0$ oppure $x>0$.
Per $x>0$ è $|x|=x$, quindi $y_p=A x+B$ e l'equazione si riduce a $y''-4y'+4y=x$, soluzione (se non ho fatto male i
conti): $y_p=1/4x+1/4$, che nell'intervallo che sto considerando coincide di fatto con $y_p=1/4|x|+1/4$.
Per $x<0$ è $|x|=-x$, quindi $y_p=-A x+B$ da sostituire in: $y''-4y'+4y=-x$, risultato (mio quindi da verificare) $y_p=-1/4x-1/4$ cioè (data la restrizione $x<0$ ) equivalente a $y_p=1/4|x|-1/4$.
In conclusione la soluzione potrebbe essere espressa come $y_p=1/4|x|\pm1/4$, col $+$ se $x>0$ e col $-$ se $x<0$. Cosa che potrebbe compattarsi scrivendo ad esempio :$y_p=1/4|x|+|x|/(4x)$. Può funzionare?
Ciao Palliit e grazie per aver risposto
Sfortunatamente la soluzione che mi hai gentilmente suggerito non sembra funzionare: messa sul calcolatore mi dà come risultato
\(\displaystyle (x - 1) sign(x) + 1 \)
anziché
$|x|$
Ho provato a calcolare anch'io con il tuo metodo e mi viene la stessa cosa, tranne il caso $x<0$ che mi viene $y_p=-1/4x+1/4$
Sfortunatamente la soluzione che mi hai gentilmente suggerito non sembra funzionare: messa sul calcolatore mi dà come risultato
\(\displaystyle (x - 1) sign(x) + 1 \)
anziché
$|x|$
Ho provato a calcolare anch'io con il tuo metodo e mi viene la stessa cosa, tranne il caso $x<0$ che mi viene $y_p=-1/4x+1/4$
Mah, strano: sostituendo la mia soluzione nell'equazione mi risulta un'identità, magari ho fatto non uno ma due errori 
Non ho capito: la soluzione che ti dà il calcolatore è quella con la funzione $sign$ o mette quello al posto di $|x|$ nella soluzione che mi è risultata?
Non ho capito: la soluzione che ti dà il calcolatore è quella con la funzione $sign$ o mette quello al posto di $|x|$ nella soluzione che mi è risultata?
Ops errore mio 
Ho sbagliato ad inserire i dati al calcolatore - non ero sicuro perché a mano mi veniva, ma non mi fido molto dei miei calcoli: ora so che non devo fidarmi di me stesso neanche quando digito i dati!
La soluzione che m'hai fornito è giusta così. Grazie!
Ho sbagliato ad inserire i dati al calcolatore - non ero sicuro perché a mano mi veniva, ma non mi fido molto dei miei calcoli: ora so che non devo fidarmi di me stesso neanche quando digito i dati!
La soluzione che m'hai fornito è giusta così. Grazie!
Prego! (meno male, pensavo di essere rimbambito 
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