Equazione differenziale I ordine

[Brancaleone1]

Ciao a tutti

Ho il problema di Cauchy
\(\displaystyle \begin{cases} y'(x)=\frac{e^{y^2(x)}}{y(x)} \\
y(0)=1 \end{cases} \)

ma non sono sicuro su come affrontarlo, cioé non so se ricondurlo nelle forme
\(\displaystyle \frac{y(x)}{e^{y^2(x)}}y'(x)=1 \)
oppure
\(\displaystyle y'(x) - \frac{e^{y^2}}{y(x)} =0\)

[Quinzio]

Io starei sulla prima (che non hai copiato correttamente...)

[Brancaleone1]

(riscritta giusta)

Stando sulla prima ottengo:
\(\displaystyle \int ye^{-y^2} dy = \int dx \Rightarrow -\frac{1}{2} \int -2ye^{-y^2} = x + c \Rightarrow -\frac{1}{2} e^{-y^2} = x+c\)

ed esplicitando rispetto a y:

\(\displaystyle y= \pm \sqrt{-\ln(-2x-2c)} \)

Tale soluzione ha senso solo se
\(\displaystyle -\ln(-2x-2c) \ge 0 \Leftrightarrow \ln(-2x-2c) \le 0 \Leftrightarrow 0<-2x-2c \le 1 \Leftrightarrow c<-x \le \frac{1}{2}+c \Leftrightarrow \)
\(\displaystyle \Leftrightarrow -\frac{1}{2}-c \le x <-c \)

Sostituendo la condizione iniziale ottengo
\(\displaystyle y(0) = 1 = \pm \sqrt{-\ln(-2 \cdot 0-2c)} \Rightarrow \pm \sqrt{-\ln(-2c)} = 1 \Rightarrow \ln(-2c)=-1 \Rightarrow -2c = e^{-1} \Rightarrow c = -\frac{1}{2}e^{-1} \)

che è accettabile, poiché rispetta la condizione \(\displaystyle -\frac{1}{2}+ \frac{1}{2}e^{-1} \le 0 <\frac{1}{2}e^{-1} \)

Scegliendo il segno $+$ davanti alla radice, la soluzione del problema dovrebbe essere \(\displaystyle y(x)= \sqrt{-\ln(-2x+e^{-1})} \)