Equazione differenziale gravitazionale
Quest'equazione differenziale è risolvibile?
$$y''=-\frac a{y^2}$$
a positivo.
Va bene anche in forma generale o comunque:
$y(0)=h; \ \ y'(0)=0;$
$$y''=-\frac a{y^2}$$
a positivo.
Va bene anche in forma generale o comunque:
$y(0)=h; \ \ y'(0)=0;$
Risposte
Se moltiplichi ambo i membri per \(y'\) la puoi riscrivere come
\[
\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2} (y')^2\right] = \frac{d}{dt} (a y^{-1}).
\]
Tenendo conto delle condizioni iniziali ti riconduci quindi al problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2} (y')^2 = a (1/y - 1/h),\\
y(0) = h.
\end{cases}
\]
A questo punto puoi ottenere una soluzione in forma implicita per separazione di variabili.
\[
\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2} (y')^2\right] = \frac{d}{dt} (a y^{-1}).
\]
Tenendo conto delle condizioni iniziali ti riconduci quindi al problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
\frac{1}{2} (y')^2 = a (1/y - 1/h),\\
y(0) = h.
\end{cases}
\]
A questo punto puoi ottenere una soluzione in forma implicita per separazione di variabili.
Scusa non conosco le equazioni differenziali quindi ho capito poco di quello che hai scritto, non so se è spiegabile in modo più semplice.
Ho trovato l'equazione cercando di risolvere un problema di fisica come si capisce dal testo, e sono arrivato a scrivere quello ma non sapendo risolvere le equazioni differenziali ho chiesto
Ho trovato l'equazione cercando di risolvere un problema di fisica come si capisce dal testo, e sono arrivato a scrivere quello ma non sapendo risolvere le equazioni differenziali ho chiesto
Molto brevemente (trovi i dettagli su qualsiasi libro di Analisi 2):
la tua equazione è del tipo \(y'' = f(y)\); puoi moltiplicare ambro i membri per \(y'\) e accorgerti che così, a primo membro, hai la derivata di \((y')^2/2\):
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} (y')^2\right) = y' y''\,.
\]
A secondo membro, detta \(V\) una primitiva di \(f\), puoi osservare che
\[
\frac{d}{dt} V(y) = V'(y) y' = f(y) y'\,.
\]
Di conseguenza la tua equazione può essere riscritta come
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} (y')^2\right) = \frac{d}{dt} V(y)\,.
\]
Volendo, se vogliamo dare un'interpretazione fisica, si può introdurre l'energia totale del sistema
\[
E(y, y') := \frac{1}{2} (y')^2 - V(y) \qquad \text{(Energia cinetica - Energia potenziale)}
\]
e osservare che l'equazione precedente non è altro che la conservazione dell'energia:
\[
\frac{d}{dt} E(y, y') = 0.
\]
Di conseguenza
\[
(1)\qquad E(y(t), y'(t)) = E(y(0), y'(0)) = E(h, 0) = - V(h)\qquad \forall t.
\]
Osserva che una primitiva di \(f\) è \(V(y) = a/y\); l'equazione (1) diviene quindi
\[
\frac{1}{2} (y')^2 - \frac{a}{y} = - \frac{a}{h}
\]
che è esattamente quella che ti avevo già scritto nel precedente post.
A sua volta, distinguendo i casi \(y'\geq 0\) e \(y'\leq 0\) (nel tuo esempio specifico quest'ultimo dovrebbe essere il caso rilevante) puoi ricondurti a un'equazione a variabili separabili.
Su queste ultime puoi trovare tutto quello che ti serve qui:
http://www.fioravante.patrone.name/.%5C ... _intro.htm
la tua equazione è del tipo \(y'' = f(y)\); puoi moltiplicare ambro i membri per \(y'\) e accorgerti che così, a primo membro, hai la derivata di \((y')^2/2\):
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} (y')^2\right) = y' y''\,.
\]
A secondo membro, detta \(V\) una primitiva di \(f\), puoi osservare che
\[
\frac{d}{dt} V(y) = V'(y) y' = f(y) y'\,.
\]
Di conseguenza la tua equazione può essere riscritta come
\[
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} (y')^2\right) = \frac{d}{dt} V(y)\,.
\]
Volendo, se vogliamo dare un'interpretazione fisica, si può introdurre l'energia totale del sistema
\[
E(y, y') := \frac{1}{2} (y')^2 - V(y) \qquad \text{(Energia cinetica - Energia potenziale)}
\]
e osservare che l'equazione precedente non è altro che la conservazione dell'energia:
\[
\frac{d}{dt} E(y, y') = 0.
\]
Di conseguenza
\[
(1)\qquad E(y(t), y'(t)) = E(y(0), y'(0)) = E(h, 0) = - V(h)\qquad \forall t.
\]
Osserva che una primitiva di \(f\) è \(V(y) = a/y\); l'equazione (1) diviene quindi
\[
\frac{1}{2} (y')^2 - \frac{a}{y} = - \frac{a}{h}
\]
che è esattamente quella che ti avevo già scritto nel precedente post.
A sua volta, distinguendo i casi \(y'\geq 0\) e \(y'\leq 0\) (nel tuo esempio specifico quest'ultimo dovrebbe essere il caso rilevante) puoi ricondurti a un'equazione a variabili separabili.
Su queste ultime puoi trovare tutto quello che ti serve qui:
http://www.fioravante.patrone.name/.%5C ... _intro.htm
La funzione soluzione dovrebbe essere la legge oraria di un corpo con velocità iniziale nulla posto all'altezza iniziale h in un campo gravitazionale generato da una massa al centro del sistema di riferimento di massa a/G;
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