Equazione differenziale fondamentale
stavo provando a generalizzare i procedimenti che portano alla risoluzione di un'equazione differenziale elementare...quelle che noi di solito risolviamo senza stare troppo a pensare ai formalismi:
$ y'=f(x) $
$ y''=f(x) $
ora nel primo caso sono riuscito a ricomporre il formalismi:
$ y'=f(x) $
essendo: $ y'= dy/dx $
si ottiene: $ dy/dx=f(x) $
e separando le variabili:
$ dy=f(x)*dx $
applicando l'operatore di integrale indefinito si avrà: $ int_()^() dy=int_()^() f(x)*dx $
che darà una generica soluzione: $ y+c_1=F(x)+c_2 $
poi si puo inglobare le due costanti in una sola ottenendo:
$ y=F(x)+c_ $
che alla fine è quello che si fa sempre anche se uno non ci pensa.
COme faccio a trovare una scrittura simile per il caso: $ y''=f(x) $ ?
perche riscrivendo y'' come : $ y''=(d^2y)/(dx^2) $ si ottiene: $ d^2y=dx^2*f(x) $
a questo punto se applico l'integrale cosa ottengo? $ int_() d^2y= intdx^2*f(x) $
ora come procedo per formalizzare come fatto prima?
quanto viene al primo membro?
ho pensato di riscrivere dx^2 come 2x*dx riuscendo cosi a trovare un generico F(x) al secondo membro ma a sinistra non so quanto viene(tenendo conto che mi dovrebbe venire un qualcosa come y' che mi permetta cosi di integrare di nuovo in ambo i membri)...
GRAZIE
$ y'=f(x) $
$ y''=f(x) $
ora nel primo caso sono riuscito a ricomporre il formalismi:
$ y'=f(x) $
essendo: $ y'= dy/dx $
si ottiene: $ dy/dx=f(x) $
e separando le variabili:
$ dy=f(x)*dx $
applicando l'operatore di integrale indefinito si avrà: $ int_()^() dy=int_()^() f(x)*dx $
che darà una generica soluzione: $ y+c_1=F(x)+c_2 $
poi si puo inglobare le due costanti in una sola ottenendo:
$ y=F(x)+c_ $
che alla fine è quello che si fa sempre anche se uno non ci pensa.
COme faccio a trovare una scrittura simile per il caso: $ y''=f(x) $ ?
perche riscrivendo y'' come : $ y''=(d^2y)/(dx^2) $ si ottiene: $ d^2y=dx^2*f(x) $
a questo punto se applico l'integrale cosa ottengo? $ int_() d^2y= intdx^2*f(x) $
ora come procedo per formalizzare come fatto prima?
quanto viene al primo membro?
ho pensato di riscrivere dx^2 come 2x*dx riuscendo cosi a trovare un generico F(x) al secondo membro ma a sinistra non so quanto viene(tenendo conto che mi dovrebbe venire un qualcosa come y' che mi permetta cosi di integrare di nuovo in ambo i membri)...
GRAZIE
Risposte
Non ti conviene, meglio una sostituzione $z=y'$, e poi risolvi in $z$ l'equazione data. Fatto questo calcoli $y$.
ah ecco...perhce con questo metodo non riesco a quadrare i conti soprattutto a "calcolare" $ int d^2y $
sul mio libro ho provato a vedere qualche proprietà e ho visto questa: $ int d[f(x)]= f(x)+c $
immaginando di considerare $ dy $ come f(x) nell'espessione $ d^2y=d(dy) $ ma non credo sia corretto perche cosi facendo risolvendo l'integrale otterrei a sinistra il solo $ dy $ ma a destra mi mancherebbe il dx per applicare la seconda integrazione...(mi servirebbe di avere dopo la prima integrazione y')
quindi dici che il moto piu corretto per scriverla in modo formale è con la sostituzione? cosi mi complico troppo la vita?
pongo quindi $ f'(x)=z(x) $ ?
grazie!
sul mio libro ho provato a vedere qualche proprietà e ho visto questa: $ int d[f(x)]= f(x)+c $
immaginando di considerare $ dy $ come f(x) nell'espessione $ d^2y=d(dy) $ ma non credo sia corretto perche cosi facendo risolvendo l'integrale otterrei a sinistra il solo $ dy $ ma a destra mi mancherebbe il dx per applicare la seconda integrazione...(mi servirebbe di avere dopo la prima integrazione y')
quindi dici che il moto piu corretto per scriverla in modo formale è con la sostituzione? cosi mi complico troppo la vita?
pongo quindi $ f'(x)=z(x) $ ?
grazie!
Io non ho mai visto la scrittura $\int d^2 y$ e non credo sia una notazione utile, mi sembra porti solo a fare confusione.
quindi pongo $ f'(x)=z(x) $ ?
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