Equazione differenziale facile, domanda di concetto
Cercare la soluzione del problema a valori iniziali $y^('') + 4y^(')+8y=0$ con $y(0)=1$ e $y^(')(0)=-1$.
Ok a me viene (penso senza particolari problemi...):
$y= e^(-2x)*(c_1*cos(2x)+c_2*sin(2x))$
Mi chiedo come devo proseguire per trovare l'eq particolare. Come li uso i parametri iniziali che mi fornisce il testo $y(0)=1$ e $y^(')(0)=-1$?
Thanks
Ok a me viene (penso senza particolari problemi...):
$y= e^(-2x)*(c_1*cos(2x)+c_2*sin(2x))$
Mi chiedo come devo proseguire per trovare l'eq particolare. Come li uso i parametri iniziali che mi fornisce il testo $y(0)=1$ e $y^(')(0)=-1$?
Thanks
Risposte
$c_1$ si vede che dev'essere uguale ad 1 ed uso il primo valore iniziale dato y(0)=1. Ma l'altro?
Derivi la funzione che hai trovato e ottieni $y'(x)$ poi sostituisci i valori numerici e trovi una relazione tra le costanti.
Ciao Camillo! 
Aspé.
La prima cosa che ho fatto è stata di usare il primo valore iniziale ed ho trovato che c1=1.
Ora derivo quel risultato che c1=1 lasciando c2. Così trovo c2?
Oppure derivo tutto lasciando c1 e c2 invariate?
Aspé.
La prima cosa che ho fatto è stata di usare il primo valore iniziale ed ho trovato che c1=1.
Ora derivo quel risultato che c1=1 lasciando c2. Così trovo c2?
Oppure derivo tutto lasciando c1 e c2 invariate?
Hai già trovato che $c1 $ =1 , ma è un caso fortunato ; a questo punto sostituisci il valore numerico a $c1$ e deriva la y(x) .
In genere trovi in casi di questo tipo , eq diff lin secondo ordine , un sistema di due equazioni algebriche di primo grado in 2 incognite , che risolvi .
In genere trovi in casi di questo tipo , eq diff lin secondo ordine , un sistema di due equazioni algebriche di primo grado in 2 incognite , che risolvi .
Grazie Camillo!
Quindi questa è stata un'eccezione.
Avrei dovuto fare la derivata della soluzione e lasciare c1 e c2. Poi impostare il sistema.
Ma ora sto andando in panico, guarda questa:
Trovare la soluzione per serie del seguente problema di Cauchy, $y^('') - 2xy^(') + y=0$ con $y(0)=-1$ e $y^(') (0)=1$
Con x in quella posizione mi viene da piangere... Che fo?
Quindi questa è stata un'eccezione.
Avrei dovuto fare la derivata della soluzione e lasciare c1 e c2. Poi impostare il sistema.
Ma ora sto andando in panico, guarda questa:
Trovare la soluzione per serie del seguente problema di Cauchy, $y^('') - 2xy^(') + y=0$ con $y(0)=-1$ e $y^(') (0)=1$
Con x in quella posizione mi viene da piangere... Che fo?
Corretto il procedimento.
Equazione differenziale nuova : questa è tutta un'altra musica...
Ipotizza che la soluzione sia del tipo
$ y = a_0+a_1*x+a_2*x^2+...$
calcola poi $y'$ e anche $y'' $ sempre relativi alla ipotetica soluzione ; inserisci poi quanto trovato nella equazione differenziale data , di modo che la verifichi e quindi cerca le relazioni tra i coefficienti...
Usa poi le condizioni al contorno per determinarli ( i coefficienti).
Equazione differenziale nuova : questa è tutta un'altra musica...
Ipotizza che la soluzione sia del tipo
$ y = a_0+a_1*x+a_2*x^2+...$
calcola poi $y'$ e anche $y'' $ sempre relativi alla ipotetica soluzione ; inserisci poi quanto trovato nella equazione differenziale data , di modo che la verifichi e quindi cerca le relazioni tra i coefficienti...
Usa poi le condizioni al contorno per determinarli ( i coefficienti).
"Camillo":
Equazione differenziale nuova : questa è tutta un'altra musica...
Ipotizza che la soluzione sia del tipo
$ y = a_0+a_1*x+a_2*x^2+...$
calcola poi $y'$ e anche $y'' $ sempre relativi alla ipotetica soluzione ; inserisci poi quanto trovato nella equazione differenziale data , di modo che la verifichi e quindi cerca le relazioni tra i coefficienti...
Usa poi le condizioni al contorno per determinarli ( i coefficienti).
Questa musica è nuova per me...
E mi fa piangere!
Son rovinato... Sul libro manco le tratta queste.... Naggia la Miséria!
Non riesco a tirarmi fuori. Poi alla fine scoprirò che sono facili ma ancora non le capisco.
Che ipotesi di soluzioni posso fare?
Certo, che se mi fai capire pure queste mi metto ad urlare dalla finestra "Grande Camillo!!!!!!"
Che ipotesi di soluzioni posso fare?
Certo, che se mi fai capire pure queste mi metto ad urlare dalla finestra "Grande Camillo!!!!!!"
Forse ho capito, dovrebbe risultare:
$y(x)=-1+x+1/2x^2+1/6x^3+...$
Si ma è un casotto. Ci metto troppo... Anvedi oh..
Ora mi esercito un pochetto!
Grazie CAMì!
$y(x)=-1+x+1/2x^2+1/6x^3+...$
Si ma è un casotto. Ci metto troppo... Anvedi oh..
Ora mi esercito un pochetto!
Grazie CAMì!
Ottimo, soluzione corretta !
Riassumo il procedimento ricordando che l'equazione differenziael è $ y''-2xy'+y=0 $ con le condizioni al contorno
$y(0)=-1;y'(0)=1 $
Ipotizzo una soluzione sviluppabile in serie di potenze e quindi del tipo :
$y(x) = a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4...$
Dalla condizione $y(0)=-1$ si deduce subito che $a_0 = -1 $
Calcolo ora $y'(x) = a_1+2a_2*x+3a_3*x^2+4a_4*x^3...$
da cui subito si deduce tramite la seconda condizione iniziale che $ a_1 = 1$
Bisogna ora calcolare $y''(x) = 2a_2+6a_3*x+12a_4*x^2...$
Infine bisogna che $y, y',y'' $ soddisfino la equazione differenziale e allora deve essere :
$2a_2+6a_3*x+12a_4*x^2-2x-4a_2*x^2-6a_3*x^3-8a_4*x^4-1+x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4......=0$
E quindi $ (2a_2-1)+(6a_3-2+1)x+(12a_4-4a_2+a_2)x^2.... = 0 $
per il principio di identità dei polinomi deve essere:
$2a_2-1=0 $ da cui $ a_2 = 1/2 $
$6a_3-1=0$ da cui $a_3 = 1/6$
$12a_4-3a_2 = 0 $ da cui $ a_4 = 1/8$ .
$y = -1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/8$
S.E.O.
Riassumo il procedimento ricordando che l'equazione differenziael è $ y''-2xy'+y=0 $ con le condizioni al contorno
$y(0)=-1;y'(0)=1 $
Ipotizzo una soluzione sviluppabile in serie di potenze e quindi del tipo :
$y(x) = a_0+a_1*x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4...$
Dalla condizione $y(0)=-1$ si deduce subito che $a_0 = -1 $
Calcolo ora $y'(x) = a_1+2a_2*x+3a_3*x^2+4a_4*x^3...$
da cui subito si deduce tramite la seconda condizione iniziale che $ a_1 = 1$
Bisogna ora calcolare $y''(x) = 2a_2+6a_3*x+12a_4*x^2...$
Infine bisogna che $y, y',y'' $ soddisfino la equazione differenziale e allora deve essere :
$2a_2+6a_3*x+12a_4*x^2-2x-4a_2*x^2-6a_3*x^3-8a_4*x^4-1+x+a_2*x^2+a_3*x^3+a_4*x^4......=0$
E quindi $ (2a_2-1)+(6a_3-2+1)x+(12a_4-4a_2+a_2)x^2.... = 0 $
per il principio di identità dei polinomi deve essere:
$2a_2-1=0 $ da cui $ a_2 = 1/2 $
$6a_3-1=0$ da cui $a_3 = 1/6$
$12a_4-3a_2 = 0 $ da cui $ a_4 = 1/8$ .
$y = -1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/8$
S.E.O.
Che vuol dire S.E.O.?
Grande Camillo!!!!
Alla fine ieri avevo trovato qualcosa che ne parlava...
Grazie 1000!
Grande Camillo!!!!
Alla fine ieri avevo trovato qualcosa che ne parlava...
Grazie 1000!
Salvo Errori od Omissioni , sempre possibili specie nei conti...
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